4.4 数学归纳法 (选学内容)（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

4．4　数学归纳法　(选学内容) 学习目标 素养要求 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 1．通过数学归纳法定义的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过数学归纳法的应用，培养学生逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　数学归纳法 [问题]　在学校内，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ 答：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下． ►知识填空 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“n＝k(k≥n0，k∈N*)”时命题成立为条件，推出当n＝k＋1_时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 这种证明方法称为数学归纳法． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1．(　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证(　　) A．当n＝1时，不等式成立 B．当n＝2时，不等式成立 C．当n＝3时，不等式成立 D．当n＝4时，不等式成立 解析：选C　由题意知n的最小值为3，所以第一步应验证当n＝3时，不等式成立，故选C． 3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：选C　当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确． 4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*且n>1)，第一步要证明的不等式是________，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了________项． 解析：当n＝2时，1＋＋<2． 当n＝k时到第2k－1项， 当n＝k＋1时到第2k＋1－1项， 所以2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k． 答案：1＋＋<2　2k 题型一　用数学归纳法证明等式 [例 1]　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2． 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立． 用数学归纳法证明等式的方法 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．　　 　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝ ． 证明：(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k时等式成立， 即有＋＋…＋＝ ， 则＋＋…＋ ＋ ＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知对于任意的n∈N*等式都成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 [例 2]　数列{an}满足an＋1＝，a1＝1． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并用数学归纳法证明＋＋…＋>． 证明：(1)∵an＋1＝， ∴＝，化简得＝2＋， 即－＝2， 故数列是以1 为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)，知Sn＝n2， 当n＝1时，＝1，＝，不等式显然成立． 假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋>＋， 又＋－＝1－＋－1＋＝－＝>0， ∴＋＋…＋＋>．综上，原不等式成立． 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．　　 　用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)． 证明：(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立． (2)假设n＝k时命题成立， 即1＋＋＋…＋<2－． 则当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－， 即当n＝k＋1时命题成立． 由(1)和(2)知，原不等式在n≥2，n∈N*时均成立． 题型三　归纳－猜想－证明 [例 3]　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝，n∈N*． (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． 解：(1)a2＝＝，a1＝， 则a2＝，类似地求得a3＝． (2)由a1＝，a2＝，a3＝…猜得： an＝． 证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立； ②假设当n＝k时猜想成立， 即ak＝， 那么，当n＝k＋1时， 由题设an＝ 得ak＝，ak＋1＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak ＝k(2k－1)× ＝， Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－． 因此k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝． 这就证明了当n＝k＋1时命题成立． 由①②可知，命题对任何n∈N*都成立． 1．“归纳－猜想－证明”的一般环节 2．“归纳－猜想－证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．　　 　已知函数y＝f(n)(n∈N*)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)． (1)求f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明． 解：(1)因为f(1)＝2，f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)， 所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4， f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8． f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16． (2)猜想：f(n)＝2n(n∈N*)． 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想正确，即f(k)＝2k， 那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，所以，当n＝k＋1时，猜想正确． 由①②知，对任意的n∈N*，都有f(n)＝2n． [课堂小结] 　在应用数学归纳法证题时的注意点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1； (2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障； (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$