4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

4．3　等比数列 4．3．1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 学习目标 素养要求 1．理解等比数列的定义． 2．掌握等比数列的通项公式及其应用． 3．熟练掌握等比数列的判定方法． 1．通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过等比数列的判定与证明，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等比数列的定义 观察下面几个数列： (1)4，－4，4，－4，…； (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，…，263； (3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利计算，5年内各年末的本利和依次为10 000×1．05，10 000×1．052，…，10 000×1．055． [问题1]　上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？ 答：不是． [问题2]　这三个数列，从第2项起与前一项的比有什么特点？ 答：都等于同一个常数． ►知识填空 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q≠0)表示． (1)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，切记不可丢掉； (2)公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数．　　 知识点二　等比中项 [问题]　观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任意连续三项之间有何关系？ 答：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积． ►知识填空 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，此时，G2＝ab_． 知识点三　等比数列的通项公式 [问题]　若数列{an}为等比数列，公比为q，则a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以得出什么结论呢？ 答：an＝a1qn－1． ►知识填空 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn－1_． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)常数列一定为等比数列．(　　) (3)任何两个数都有等比中项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)下列说法正确的有(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 解析：选AC　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错． 3．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　) A．3　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：选B　∵＝·， ∴＝，即＝， ∴n－1＝3，∴n＝4． 4．45和80的等比中项为________． 解析：设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80， ∴G＝±60． 答案：－60或60 题型一　等比数列通项公式的基本计算 [例 1]　在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an． 解：(1)由等比数列的通项公式得 a6＝3×(－2)6－1＝－96． (2)设等比数列的公比为q， 那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1． 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 1．(求通项公式)已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 023等于(　　) A．2 020　　　　　　 B．2 021 C．2 022 D．2 023 解析：选C　由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 023＝log332 022＝2 022． 2．(求公比)若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A．0　　　　　　　 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 解析：选C　设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0．由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2． 3．(求项数)在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：选D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7． 题型二　等比数列的判定与证明 [例 2]　已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)． 当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝． 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [反思感悟] 判断一个数列{an}是等比数列的方法 定义法 若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列 等比中项法 对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列 1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”，求证数列{an}是等比数列． 证明：∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an． 又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0． 又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝，∴{an}是等比数列． 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)． (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求出{an}的通项公式． 解：(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，(n∈N*)． 因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0， 所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)，可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n． 题型三　灵活设项求解等比数列 [例 3]　已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为____________． 解析：设此4个数为a，aq，aq2，aq3． 则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，① 所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解； 当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－． 当q＝－4时，a＝－； 当q＝－时，a＝8． 所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2，8． 答案：8，－2，，－或－，，－2，8 巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d；若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2． (2)若四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；若四个数成等比数列，可设为，，aq，aq3(只适合数列的各项同正或同负)或，a，aq，aq2．　　 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． 解：由题意设此四个数为，b，bq，a， 则有 解得或 所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8． [课堂小结] 1．判断一个数列是否是等比数列的技巧 利用定义法来判断数列是否是等比数列需从以下三个方面把握：(1)从第二项起；(2)每一项与前一项的比；(3)同一个常数，即＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． 2．应用等比中项的两个注意点 (1)若b2＝ac且ac≠0，则a，b，c成等比数列．这里要注意条件ac≠0；若只有条件b2＝ac，我们得不到a，b，c成等比数列的结论． (2)对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列．这也是证明数列{an}是等比数列的方法． 3．等比数列通项公式的应用 (1)由a1和q可求等比数列的任意一项． (2)已知a1，q，an，n中的三个量，可求另外一个量． (3)验证某数是否为等比数列的项． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$