4.3.1 第3课时 等比数列的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

等比数列的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 1.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 2.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.并能解决指数函数单调性问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等比数列的实际应用 题型(二)　等比数列的通项公式与 指数型函数的关系 题型(三)　等差、等比数列的 综合问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　等比数列的实际应用 01 [例1]　某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值. 解:从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an, 由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,…. 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5, 公比q=1-10%=0.9,∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱? 解:由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. |思|维|建|模| 解等比数列应用题的步骤 (1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意; (2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题; (3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数; (4)还原:即最后转化为实际问题作出回答. 针对训练 1.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(如图1)的边长为1,把图2、图3、图4中的图形依次记为1级、2级、3级雪花曲线,则n级雪花 曲线的边长为______,n级雪花曲线的周长为　　　　.  解析:设n级雪花曲线的边长为an,则数列{an}是首项为,公比为的等比数列,故n级雪花曲线的边长an=×=.设n级雪花曲线的边数为bn,则数列{bn}是首项为12,公比为4的等比数列,故n级雪花曲线的边数bn=12×4n-1,则n级雪花曲线的周长为12×4n-1×=. 题型(二)　等比数列的通项公式 与指数型函数的关系 02 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n). (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下: ①当或时,等比数列{an}为递增数列; ②当或时,等比数列{an}为递减数列. ③当q=1时,等比数列{an}为常数列. ④当q<0时,等比数列{an}为摆动数列. |微|点|助|解| (1)q<0或q=1时,等比数列通项公式不具备指数型函数特点. (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,只有q>0且q≠1时存在单调性. [例2]　(1)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,{bn}是正项等比数列,若a1=b1,a7=b7,则 (　　) A.a4=b4 B.a5<b5 C.a8>b8 D.a9<b9 √ 解析:等差数列的通项公式是关于n的一次函数,n∈N*,图象中的孤立的点在一条直线上, 而等比数列{bn}的通项公式是关于n的指数函数,n∈N*,图象中孤立的点在指数函数图象上,如图所示,当公差d>0时,如图1所示,当公差d<0时,如图2所示, 由图可知当a1=b1,a7=b7时,a4>b4,a5>b5,a8<b8,a9<b9.故选D. (2)[多选]下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 (　　) A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1 {an}为递增数列,且{an}为递增数列 q>1 √ √ √ 解析:若a1=-2,q=2>1,则{an}的各项为-2,-4,-8,…,是递减数列,A不正确;若等比数列{an}的各项为-16,-8,-4,-2,…,是递增数列,则q=<1,B不正确,D正确;若a1=-16,q=∈(0,1),则{an}的各项为-16,-8,-4,…,显然是递增数列,C不正确. |思|维|建|模| (1)具备“an=kan(k≠0)”形式,如an=2n-1,an=3×为等比数列. (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,如a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,{an}递增;a1>0,0<q<1或a1<0,q>1,{an}递减. 针对训练 2.已知q是等比数列{an}的公比,则“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析:已知q是等比数列{an}的公比,当a1=1,q=-1时,a1(1-q)>0,数列为摆动数列,推不出数列{an}是递增数列.当数列{an}是递增数列时,不妨取an=2n,则a1=2,q=2,不满足a1(1-q)>0.故“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 3.[多选]已知Tn为正项等比数列{an}的前n项积,若T2 024<1,T2 025>1,则 (　　) A.{an}的公比的取值范围为(0,1) B.数列{an}为递增数列 C.当n=1 012时,Tn最小 D.当n=1 013时,Tn最大 解析:由T2 024=a1a2·…·a2 023a2 024=(a1 012a1 013)1 012<1,得a1 012a1 013<1,同理由T2 025>1,得a1 013>1,所以0<a1 012<1,a1 013>1,所以q=>1,故0<a1<a2<…<a1 012<1<a1 013<…,所以{an}为递增数列,当n=1 012时,Tn最小,Tn无最大值,故A、D错误,B、C正确.故选BC. √ √ 题型(三)　等差、等比数列的 综合问题 03 [例3]　设{an}是公比大于1的等比数列,已知a1+a2+a3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 解:由已知得解得a2=2. 设数列{an}的公比为q,由a2=2可得a1=,a3=2q,由a1+a2+a3=7, 可得+2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=,由题意得q>1,∴q=2,∴a1=1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)令bn=log2a3n+1,n=1,2,3,…,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:由于bn=log2a3n+1,由(1)得a3n+1=23n,∴bn=log223n=3n. ∵bn+1-bn=3,∴{bn}是等差数列, ∴Tn=b1+b2+…+bn==. 针对训练 4.在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; 解:设数列{an}的公比为q,则q4-1===8,得q=2,所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,问a9是不是数列{bn}中的项?若是,求出是第几项;若不是,请说明理由. 解:设等差数列{bn}的公差为d,b3=a3=23=8,b5=a5=25=32.则d=== 12,所以bn=b3+(n-3)d=8+12(n-3)=12n-28.因为a9=29=512=12×45-28=b45,所以a9是数列{bn}中的第45项. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1,a2=b2=2,a4=8,则{bn}的公比为 (　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 √ 解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 则a4=8=a2+2d=2+2d,所以d=3,所以a2=b2=2=a1+3,a1=b1=-1, 所以q==-2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知{an}是等差数列,且公差d≠0,若a=,b=,c=,则a,b,c(　　) A.是等比数列,非等差数列 B.是等差数列,非等比数列 C.既非等比数列,又非等差数列 D.既是等差数列,又是等比数列 √ 解析:由{an}是等差数列,且公差d≠0,得a1,a3,a5是公差为2d的等差数列,故a,b,c成等比数列;若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则该数列只能是常数列,而a,b,c不是常数列,故a,b,c不是等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中,若能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为(　　) A.105 kJ B.104 kJ C.103 kJ D.102 kJ √ 解析:设H1需提供的能量为a,由题意知,H2的能量为10%a,H3的能量为(10%)2a,即(10%)2a =10,解得a=103,所以要能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为103 kJ,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若{an}为等比数列,则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析:若等比数列{an}是递增数列,可得a1<a3<a5一定成立;反之:例如数列{(-1)n+12n},此时满足a1<a3<a5,但数列{an}不是递增数列.所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年,爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列,记为{an},其将满月等分成240份,ai(1≤i≤15且i∈N*)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如,第1天月球被太阳照亮部分占满月的,即a1=5;第15天为满月,即a15=240.已知{an}的第1项到第5项是公比为q的等比数列,第5项到第15项是公差为d的等差数列,且q,d均为正整数,则a5=(　　) A.40 B.80 C.96 D.112 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:依题意,有a5=a1q4=5q4,a15=a5+10d=5q4+10d=240. 当q=1时,d不是正整数;当q=2时,d=16; 当q≥3时,5q4≥405,d不是正整数.所以q=2,d=16,a5=a1q4=80. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在等比数列{an}中,已知a1>0,则“a2>a3”是“a3>a6”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析:∵a2>a3,∴a1q>a1q2,又a1>0,∴q>q2,解得0<q<1,∴等比数列{an}是递减数列,∴a3>a6,∴充分性成立.反之,由a3>a6,得a1q2>a1q5,又a1>0,∴1>q3,∴q<1且q≠0,∴等比数列{an}是递减数列或摆动数列,不一定得出a2>a3,∴必要性不成立.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]在等比数列{an}中,公比为q,其前n项积为Tn,并且满足a1>1 ,a99·a100-1>0 ,<0 ,则以下结论正确的是(　　) A.0<q<1 B.a99·a101-1<0 C.T100的值是Tn中最大的 D.使Tn>1成立的最大自然数n等于197 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为等比数列{an}中,a99·a100>1,所以a99与a100同号,所以q>0;又<0⇒a99与a100一个大于1,一个小于1,再有a1>1,所以a99>1,a100<1.所以数列{an}是各项均为正数的递减的等比数列,所以0<q<1,故A正确;因为0<a100<1,所以a99·a101-1=-1<0,故B正确;因为T100=T99·a100<T99,故C错误;因为T198=(a1·a198)·(a2·a197)·…·(a99·a100)= >1,T199=(a1·a199)·(a2·a198)·…·(a99·a101)·a100=<1,所以使Tn>1成立的最大自然数n等于198.故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮 98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比为_______.  解析:设衰分比为q,则甲、乙、丙各分得石,28石,28q石, ∴+28+28q=98,解得q=2或q=.又0<q<1,∴q=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=______.  1 解析:设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,∴q===1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若数列a1,,,…,,…,是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=______.  32 解析:由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-,=(-)2, =(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘, 得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生.碳14原子经过β衰变转变为氨原子.由于其半衰期达5 730年,经常用于考古年代鉴定,半衰期是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间,对北京人遗址中某块化石鉴定时,碳14含量约为原来的1%,则这块化石距今约为______万年.(四舍五入到0.1万年)  3.8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设第n个半衰期结束时,碳14含量为an,由题意,可得第一个半衰期结束时,碳14含量为a1=,第二个半衰期结束时,碳14含量为a2=,以此类推,{an}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,所以第n个半衰期结束时,碳14含量为an=.令an==1%,解得n=lo10-2=≈ ≈6.64,所以这块化石距今约为5 730×6.64=38 047.2年,即约为3.8万年. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知数列{an},{bn}满足bn=log2an(n∈N*).其中{bn}是等差数列,若a10a2 013=2,则b1+b2+…+b2 022=______.  1 011 解析:∵{bn}为等差数列,设公差为d,则bn+1=log2an+1,bn=log2an, bn+1-bn=log2=d,则=2d,故{an}为等比数列, ∴b1+b2 022=log2a1+log2a2 022=log2(a1a2 022)=log2(a10a2 013)=1, ∴b1+b2+…+b2 022==1 011. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S5=20. (1)求数列{an}的通项公式;(4分) 解:由题意设等差数列{an}的公差为d,由a1=2,S5=20,得5a1+10d=20,解得d=1,故an=2+n-1=n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若等比数列{bn}的公比为q=,且满足a4+b4=9,求满足an<bn的所有正整数n的值.(6分) 解:因为等比数列{bn}的公比为q=,且满足a4+b4=9,而a4=5,则b4=4,故b1===32,则bn=32×=26-n.又an<bn,则n+1<26-n, 当n=1,2,3时,n+1<26-n显然成立,由于n+1随着n的增大而增大,26-n随着n的增大而减小,当n≥4时,n+1≥5,26-n≤4,故当n≥4时,n+1<26-n无解,故满足an<bn的所有正整数n的值为1,2,3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)某集团投资一工厂,第一年年初投入资金5 000万元作为初始资金,工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%.每年年底,工厂向集团上缴m(m>0)万元,并将剩余资金全部作为下一年的初始资金,设第n年的初始资金为an万元. (1)判断{an-2m}是否为等比数列?并说明理由;(5分) 解:是等比数列.理由如下:依题意,a1=5 000,a2=a1(1+50%)-m=7 500-m,an+1=an(1+50%)-m=an-m,即an+1-2m=(an-2m). 所以当m=2 500,即a1-2m=0时,{an-2m}不是等比数列; 当m>0且m≠2 500时,数列{an-2m}是一个以为公比,5 000-2m为首项的等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用,则工厂在这一年转型升级.设m=2 600,则该工厂在第几年转型升级?(10分) 解:当m=2 600时,由(1)知数列{an-2m}是一个以-200为首项,为公比的等比数列,则an-5 200=-200×,即an=5 200-200×. 设第n年转型升级,则an+1=5 200-200×<0,则>26,数列是递增数列,=<26,=>26,而n∈N*,则nmin=9, 所以该工厂在第9年转型升级. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $