4.2.1 第2课时 等差数列的性质（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第2课时　等差数列的性质 学习目标 素养要求 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质． 2．能运用等差数列的性质解决有关问题． 1．通过等差数列性质的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助等差数列解决实际问题，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　等差数列的性质 给出以下3个等差数列： (1)1，4，7，10，13，…，公差为3． (2)－2，－4，－6，－8，－10，…，公差为－2． (3)3，3，3，3，3，…，公差为0． [问题1]　 针对上述3个等差数列观察分析：等差数列中的奇数项构成的数列是否为等差数列？偶数项呢？所有下标构成等差数列的项呢？ 答：奇数项、偶数项、下标成等差数列的项构成的数列均为等差数列． [问题2]　在数列(1)中，请你计算a1＋a5，a2＋a4，它们有何关系？在(2)(3)中是否也有这样的关系？ 答：a1＋a5＝a2＋a4，在(2)(3)中也有这种关系． [问题3]　针对数列(1)，我们计算了a1＋a5与a2＋a4的值，它们和a3的关系是什么？在(2)(3)两个数列中是否也有这样的关系？ 答：a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，在(2)(3)中也满足这种关系． ►知识填空 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数p，q，s，t满足p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at_． ①特别地，当p＋q＝2k(m，n，k∈N*)时，ap＋aq＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d_的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd_的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d_的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2_的等差数列． (5)若等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列_． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　) (2)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，…也是等差数列．(　　) (3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2．(　　) 答案：(1)× (2)×　提示：反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列． (3)√ 2．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于(　　) A．2　　　　　　　　 B．20 C．100 D．不确定 解析：选A　因为a100－a90＝10d， 即120－100＝10d，所以d＝2． 3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：D 4．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________． 解析：由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1． 答案：－1 题型一　等差数列的性质 [例 1]　(1)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值为__________． (2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32　　　　　　 B．27 C．24 D．16 解析：(1)法一：根据等差数列通项公式得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a1＋2d)＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＋(a1＋6d)＝5a1＋20d＝450， ∴a1＋4d＝90． ∴a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝180． 法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 由等差数列的性质知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5． ∴5a5＝450．∴a5＝90． ∴a2＋a8＝2a5＝180． (2)法一：设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24． 法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7． 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5． ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24． 答案：(1)180　(2)C 等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．　　 在等差数列{an}中： (1)若a7＝m，a14＝n，则a21＝________． (2)若a1＋a3＋a5＝－1，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝__________． 解析：(1)∵a7，a14，a21成等差数列， ∴a7＋a21＝2a14， ∴a21＝2a14－a7＝2n－m． (2)∵a1＋a3＋a5＝(a1＋a5)＋a3 ＝2a3＋a3＝3a3＝－1， ∴a3＝－， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝5×＝－． 答案：(1)2n－m　(2)－ 题型二　灵活设元求解等差数列 [例 2]　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解：(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得 ∴这三个数为4，3，2． (2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1． 又四个数成递增等差数列，∴d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4． 法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8， 得＝－8，即1－d2＝－8， 化简得d2＝4，所以d＝2或－2． 又四个数成递增等差数列，∴d＞0， ∴d＝2，a＝－2． 故所求的四个数为－2，0，2，4． 常见的设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d．　　 　已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)． 由题设知 解得或 ∴这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2． 题型三　等差数列的实际应用 [例 3]　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 　　　　　 甲　　　 　　　乙 请你根据提供的信息回答问题． (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． 解析：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn． (1)由a1＝1，a6＝2，得 ∴得a2＝1．2． 由b1＝30，b6＝10，得 ∴得b2＝26． ∴c2＝a2b2＝1．2×26＝31．2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31．2万只． (2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． 解答数列实际应用问题的基本步骤 　中国历法推测遵循以算为主，以测为辅的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115．1寸表示115寸1分(1寸＝10分)． 节气 冬至 小寒(大雪) 大寒(小雪) 立春(立冬) 雨水(霜降) 惊蛰(寒露) 春分(秋分) 晷影长/寸 135．0 125． 115．1 105．2 95．3 85．4 75．5 节气 清明(白露) 谷雨(处暑) 立夏(立秋) 小满(大暑) 芒种(小暑) 夏至 晷影长/寸 65．5 55．6 45．7 35．8 25．9 16．0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130．0寸，夏至晷影长为14．8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为(　　) A．105．6寸　　　　　　 B．48寸 C．57．6寸 D．67．2寸 解析：选C　设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130．0，a13＝14．8，则d＝＝－9．6，故小寒与清明之间的晷影长之差为a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57．6． [课堂小结] 1．记牢等差数列的常见性质 (1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用． (2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq． 特别地：若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak． 2．熟记等差数列实际应用的步骤． 3．注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$