4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

4．2　等差数列 4．2．1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及简单表示 学习目标 素养要求 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的判定方法． 3．掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念，并能简单应用． 1．通过等差数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．根据等差数列的判断与证明，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　数列的概念 1．奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48，53，58，63． 2．鞋的尺码，按照国家规定，有22，22．5，23，23．5，24，24．5，…． [问题1]　上面两组数能构成数列吗？ 答：能． [问题2]　若上面两组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点． 答：各等于同一个常数． ►知识填空 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 知识点二　等差中项 [问题]　已知等差数列2，5，8，11，14，17，任意连续三项之间有什么样的关系？ 答：前一项与后一项的和是中间项的2倍． ►知识填空 等差中项：如果三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，并且2A＝a＋b_． (1)任意两个实数都有等差中项． (2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}为等差数列．　　 知识点三　等差数列的通项公式 若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d． [问题1]　试用a1，d表示a2，a3，a4． 答：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d． [问题2]　由此猜想等差数列的通项公式an． 答：an＝a1＋(n－1)d． ►知识填空 等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则： 递推公式 通项公式 an＋1－an_＝d an＝a1＋(n－1)d_ 知识点四　从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)． (1)an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值； (2) 函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象表示的是斜率为d，截距为a1－d的直线； (3)任意一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，都可以构成等差数列{kn＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，1，1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (4)数列{an}满足an＋1－an＝1(n>1)，则数列{an}是等差数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　) A．4－2n　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：选C　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n． 3．(多选)数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为7的等差数列 D．是公差为n的等差数列 解析：选AC　∵an＝2n＋5＝2(n－1)＋7，∴首项a1＝7，公差d＝2，故选AC． 4．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　) A． B．± C．3 D．±3 答案：C 题型一　等差数列的通项公式及应用 [例 1]　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9． 解：(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 (2)设数列{an}的公差为d． 由已知得解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17． 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．　　 1．2 022是等差数列4，6，8，…的(　　) A．第1 007项　　　　 B．第1 008项 C．第1 009项 D．第1 010项 解析：选D　∵此等差数列的公差d＝2， ∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2， 即2 022＝2n＋2，∴n＝1 010． 2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知 解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*， 所以153是所给数列的第45项． 题型二　等差中项的应用 [例 2]　(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________． (2)已知等差数列{an}满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，求数列{an}的通项公式． 解析：(1)由题意得 ∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12， ∴＝6． 答案：6 (2)∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6． ∴解得或 当时，a1＝16，d＝－5， ∴an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21． 当时，a1＝－4，d＝5， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9． 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．　　 　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，则b＝＝3． 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1． 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5． ∴该数列为－1，1，3，5，7． 题型三　等差数列的判定与证明 [例 3]　已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝． (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求an． 解：(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋， ∴－＝， 即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． (2)由上述可知＝＋(n－1)d＝， ∴an＝． 等差数列的判定的三种方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数) (n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b)是常数(n∈N*)⇔{an}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．　　 1．(变条件、变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)bn＋1－bn＝－ ＝ －＝－＝＝． 又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n． ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2． 2．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由＝ ＝ ＝＝＝＋， 得－＝，n∈N*， 故数列是等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N*． [课堂小结] 1．理解等差数列的定义需注意的问题 (1)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻． (2)注意定义中的“同一个常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列． 2．(1)由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量． (2)等差数列的证明方法． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$