4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的和（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第2课时　数列的递推公式与数列的和 学习目标 素养要求 1．理解递推公式的含义． 2．掌握递推公式的应用． 3．掌握数列前n项和的概念并能由Sn求an． 1．通过递推公式的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过由Sn求an，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　数列的递推关系 [问题]　某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数． (2)第n排与第n＋1排座位数有何关系？ (3)第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 答：(1)20，22，24，26，28． (2)第n＋1排比第n排多2个座位． (3)能．an＋1＝an＋2． ►知识填空 数列的递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． (1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式； (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能给定一个数列．　　 知识点二　数列的前n项和Sn与an的关系 [问题]　已知一个数列的前9项的和为90，前10项的和为120，你能求出第10项吗？ 答：能．_第10项是30． ►知识填空 1．数列的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an_． 2．数列中an与Sn的关系：an＝ [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (2)所有数列都有递推公式．(　　) (3)仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列．(　　) (4)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第2项是(　　) A．　　　　　　　　 B．3 C． D．6 答案：B 3．数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 解析：选C　数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为 an＋1＝an(n∈N*)． 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8＝________． 答案：15 题型一　数列的递推公式 [例 1]　(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　) A．1　　　B．　　　C．　　　D． (2)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通项an． 解析：(1)选C　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝． (2)当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1． a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式是 an＝2n－1，n∈N*． 1．由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． 2．由递推公式求数列通项的方法 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式．以上方法分别叫累加法和累乘法．　　 1．已知数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 021的值为(　　) A．　　　　　　　 B．－1 C．2 D．1 解析：选A　由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，…，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，2，，－1，…．而2 021＝673×3＋2，故a2 021＝a2＝． 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an．若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N*)，求通项an． 解：当n≥2时， an＝a1···…·＝1×××…×＝． a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝，n∈N*． 题型二　利用Sn与an 的关系求通项公式 [例 2]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－10n，求a1及an． 解：因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10×1＝－9， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11． 经验证当n＝1时上式成立，所以an＝ 2n－11． 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1． (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1． (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝　　 1．(变条件)将本例的条件“Sn＝n2－10n”改为“Sn＝n2－10n＋1”，其他条件不变，求an． 解析：因为Sn＝n2－10n＋1，所以当n＝1时， a1＝S1＝12－10×1＋1＝－8， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n＋1－[(n－1)2－10(n－1)＋1]＝2n－11． 经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝ 2．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an． (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式， 所以an＝ (2)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式，所以an＝2×3n－1． 题型三　数列中的最大项、最小项 [例 3]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4．求： (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－5n＋4<0， 解得1<n<4． ∵n∈N*， ∴n＝2，3．∴数列中有两项是负数． (2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝－， 可知对称轴方程为n＝＝2．5． 又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值， 且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2． 法二：设第n项最小，由 得 解不等式组，得2≤n≤3， ∴n＝2或3时，an有最小值且a2＝a3， ∴最小值为22－5×2＋4＝－2． 求数列{an}的最大(小)项的方法 (1)利用判断函数单调性的方法，先判断数列的单调情况，再求数列的最大项或最小项． (2)设ak是最大项，则有对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可．　　 　已知an＝(n∈N*)，则数列{an}中有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． 解：法一：函数单调性法 令f(n)＝an，则f(n＋1)－f(n)＝an＋1－an＝－＝(8－n)． 当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an， 即{an}在n<8时单调递增； 当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an， 得a8＝a9； 当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1<an， 即{an}在n>8时单调递减． 所以数列{an}的最大项是第8项和第9项， 即a8＝a9＝． 法二：不等式组法 设an最大，则(n≥2)，即 解得8≤n≤9． 又因为n∈N*，所以n＝8或9． 故{an}的最大项为a8＝a9＝． [课堂小结] 1．掌握数列通项公式的求法 (1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳； (2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)； (3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)； (4)利用an与Sn关系，即an＝ 2．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an． 3．通项公式an＝ 要注意表达式能否合并． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$