4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

　数列 4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示法 学习目标 素养要求 1．理解数列的概念，了解数列的函数特性． 2．掌握数列的通项公式及应用． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 1．通过数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．根据数列的通项公式与函数的关系，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　数列的概念 观察下列示例，回答后面问题． (1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数依次是1，，，，，． (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2，4，－8，16． (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740，1823，1906，1989，2072，…． (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：，，，，，…． [问题]　观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 答：按照一定的顺序排列． ►知识填空 (1)定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项． (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 表示数列时不要漏写“{}”，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母．　　 知识点二　数列的分类 [问题]　观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？ 答：数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)是有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中每一项的大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项． ►知识填空 类别 含义 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它有前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点三　数列的通项公式 [问题1]　观察“知识点一”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？ 答：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示． [问题2]　能够表示出的通项公式是否是函数关系式？ 答：数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数解析式． ►知识填空 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 以前学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的函数．　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．(　　) (2)数列中的每一项都与它的序号有关．(　　) (3)an与{an}是不同的概念．(　　) (4)所有数列都有通项公式．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．数列{an}的通项公式是an＝n＋1，它的图象是(　　) A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 答案：B 3．已知数列{an}的前4项为：1，－，，－，则数列{an}的通项公式可能为(　　) A．an＝　　　　 B．an＝－ C．an＝ D．an＝ 解析：选D　特殊值验证． 4．数列{an}的通项公式为an＝ 则a3＋a6＝________． 解析：a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8． 答案：8 题型一　数列的概念及分类 [例 1]　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1不是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 (2)下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？ ①2 012，2 014，2 016，2 018，2 020，2 022； ②0，，，…，，…； ③1，，，…，，…； ④－，，－，，…； ⑤1，0，－1，…，sin，…； ⑥9，9，9，9，9，9． 解析：(1)选BC　{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B正确；在D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确． (2)①②是递增数列；③是递减数列；④⑤是摆动数列；⑥是常数列． 1．有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 2．数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则是递增数列；若满足an>an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．　　 　给出下列数列： (1)美国某段时间新冠肺炎确诊人数构成的数列352546，383256，419338，452987，490442，521323，547486． (2)无穷多个构成数列，，，，…． (3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列－2，4，－8，16，－32，…． 其中，递增数列是________，常数列是__________，摆动数列是________． 答案：(1)　(2)　(3) 题型二　由数列的前几项写出数列的一个通项公式 [例 2]　写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，，－，； (2)，3，，； (3)0．9，0．99，0．999，0．999 9； (4)3，5，3，5． 解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列各项的绝对值可以看作是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·． (2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝． (3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为 an＝1－． (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n． 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．　　 　写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)0，，，，…； (4)1，11，111，1 111，…． 解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1． (2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1(2n－1)． (3)因为5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为an＝(n∈N*)． (4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1．所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)． 题型三　根据通项公式确定数列的项 [例 3]　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)． (1)计算a3＋a4的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 解：(1)∵an＝， ∴a3＝＝，a4＝＝， ∴a3＋a4＝＋＝． (2)若为数列{an}中的项， 则＝， ∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0， ∴n＝10或n＝－12(舍)， 即是数列{an}的第10项． 已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是不是数列{an}的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程．若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项；若关于n的方程无解或有解但为非正整数解，则该数不是数列{an}中的项．　　 1．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第______项． 解析：∵ a1＝，a2＝，a3＝，a4＝， ∴an＝． 由＝2⇒3n－1＝20⇒n＝7， ∴2是该数列的第7项． 答案：7 2．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)，则 (1)这个数列的第4项是________； (2)65是这个数列的第________项． 解析：(1)由a4＝42－4×4－12＝－12， 得第4项是－12． (2)由an＝n2－4n－12＝65， 得n＝11或n＝－7(舍去)， ∴65是第11项． 答案：(1)－12　(2)11 [课堂小结] 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3．1，3．14，3．141，…，它没有通项公式． 3．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$