5.3.2 第1课时 函数的极值（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5．3　导数在研究函数中的应用 5．3．2　函数的极值与最大(小)值 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 第1课时　函数的极值 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（十九） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 0 f′(x)<0 f′(x)>0 点a f(b) f′(x)>0 0 f′(x)<0 点b f(b) 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 极值点 极值 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)<0 f′(x)>0 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课时作业 (十九) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 学习目标 素养要求 1．了解极大值、极小值的概念． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 3．会用导数求函数的极大值、极小值． 1．通过极值概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　函数的极值 已知y＝f(x)的图象(如下图)． [问题3]　在b，c，d，e点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ 答：在b，d点附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正． [问题1]　函数y＝f(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 答：在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的． [问题2]　y＝f(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？ 答：f′(b)＝f′(c)＝f′(d)＝f′(e)＝0． ►知识填空 (1)极小值点与极小值： 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小， f′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧____________，就把____叫做函数y＝f(x)的极小值点，________叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值： 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大， \f′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧____________，右侧____________，就把____叫做函数y＝f(x)的极大值点，________叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极值点与极值： 极大值点、极小值点统称为______，极大值、极小值统称为____． eq \a\vs4\al([点睛]) 极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数．　　 知识点二　函数极值的求法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是极小值． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定大于其极小值．(　　) (2)导数为0的点一定是极值点．(　　) (3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　) (4)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析：选C　设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值． 3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　) A．(－1，2) B．(－3，6) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析：选D　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， 因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根， 那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0， 解得a>6或a<－3． 4．函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________． 解析：y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)， 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1． 当x<－1时，y′<0，函数是减函数， 当－1<x<1时， y′>0，函数是增函数， 当x>1时，y′<0，函数是减函数， 所以当x＝－1时，函数有极小值． 当x＝1时，函数有极大值． 答案：1　－1 题型一　求函数的极值 [例 1]　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x2－2x－1； (2)f(x)＝eq \f(x4,4)－eq \f(2,3)x3＋eq \f(x2,2)－6． 解：(1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1． 因为当x<1时，f′(x)<0， 当x>1时，f′(x)>0， 所以函数在x＝1处有极小值，且y极小值＝－2． (2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2． 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1． 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)  极小值  无极值  所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6． 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f′(x)； (3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0； (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内； (5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．　　 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝x2e－x． 解：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R， 且f′(x)＝3x2－6x－9． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3． 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  10  －22  由表可知，x＝－1是函数f(x)的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)＝－22． (2)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′ ＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x． 令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0， 解得x＝0或x＝2． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化的情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  0  4e－2  因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)取得极大值，且极大值为f(2)＝4e－2＝eq \f(4,e2)． 题型二　由极值求参数的值或取值范围 [例 2]　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝______，b＝______． (2)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝10，,f′（1）＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a＋b＝9，,2a＋b＝－3，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3.)) 但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3，))不符合题意，应舍去． 而当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))时，经检验知符合题意， 故a，b的值分别为4，－11． 答案：4　－11 (2)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6． 因为函数f(x)在区间(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在区间(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示． 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m＋3）2－4（m＋6）>0，,f′（1）＝1－（m＋3）＋m＋6>0，,\f(m＋3,2)>1，)) 解得m>3．故实数m的取值范围是(3，＋∞)． 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　　 若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值． 解：∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0， ∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6． ①当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)， 由f′(x)＞0得x＜eq \f(2,3)或x＞2；由f′(x)＜0得eq \f(2,3)＜x＜2． ∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去． ②当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)， 由f′(x)＞0得x＜2或x＞6； 由f′(x)＜0得2＜x＜6． ∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32．即函数f(x)的极大值为32． 题型三　极值问题的综合应用 [例 3]　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，即(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1． 当x<－1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0． 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a． 因为方程f(x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图． 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋a>0，,－2＋a<0，)) 解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2，2)． 用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．　　 1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？ 解：由例题知，函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a， 若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0或－2＋a＝0， 所以a＝－2或a＝2． 2．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围． 解：(1)f′(x)＝eq \f(2,x＋a)－2x－1， 因为当x＝0时，f(x)取得极值， 所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意． (2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln (x＋2)－x2－x＋b， 则g′(x)＝eq \f(2,x＋2)－2x－1＝－eq \f(2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2))),x＋2) (x>－2)． 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x (－2，0) 0 (0，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x)  2ln 2＋b  由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b． 如图，要使f(x)＋b＝0在区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根， 只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（－1）≤0，,g（0）>0，,g（1）≤0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b≤0，,2ln 2＋b>0，,2ln 3－2＋b≤0，)) 所以－2ln 2<b≤2－2ln 3． 故实数b的取值范围是(－2ln 2，2－2ln 3) [课堂小结] 根据可导函数极值的定义，可知： (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (5)单调函数一定没有极值． 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