5.2.3 简单复合函数的导数（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5．2　导数的运算 5．2．3　简单复合函数的导数 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（十七） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 x的函数 y＝f(g(x)) 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课时作业 (十七) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 学习目标 素养要求 1．了解复合函数的概念． 2．掌握复合函数的求导法则． 3．能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数． 1．通过复合函数概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用复合函数的求导法则求复合函数的导数，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　复合函数 已知y＝(3x＋2)2，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))． [问题1]　这两个函数是复合函数吗？ 答：是复合函数． [问题2]　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的． 答：令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2，则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2． ►知识填空 复合函数的概念：对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成_________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作_____________． 知识点二　复合函数的求导法则 [问题1]　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数． 答：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3． [问题2]　观察问题1中的导数有何关系． 答：y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)． ►知识填空 复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________________，即y对x的导数等于_________________________________． eq \a\vs4\al([点睛]) 对于复合函数的求导法则要注意以下三点： (1)yx′＝yu′·ux′也可表示为yx′＝f′(u)·g′(x)； (2)我们把复合函数的这种求导法则称为“链式法则”； (3)法则可以推广到两个以上的中间变量，例如yx′＝yu′·uv′·vx′．　　 答案：(1)× (2)×　提示：f′(x)＝eq \f(3,3x－1)． (3)×　提示：f′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x． 2．函数y＝cos (－x)的导数是(　　) A．cos x　　　　　 B．－cos x C．－sin x D．sin x 解析：选C　y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x． 3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选D　f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4． 4．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． 解析：易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a，故a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，则a＝2． 答案：2 题型一　复合函数的定义 [例 1]　指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x． 解：(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的． (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的． (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的． 判断复合函数的方法 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数．　　 指出下列函数由哪些函数复合而成． (1)y＝ln eq \r(x)；(2)y＝esin x；(3)y＝cos(eq \r(3)x＋1)． 解：(1)y＝ln u，u＝eq \r(x)． (2)y＝eu，u＝sin x． (3)y＝cos u，u＝eq \r(3)x＋1． 题型二　简单的复合函数求导问题 [例 2]　求下列函数的导数： (1)y＝eq \f(1,\r(1－2x2))； (2)y＝esin(ax＋b)； (3)y＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))； (4)y＝5log2(2x＋1)． 解： (2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a ＝acos (ax＋b)·esin (ax＋b)． (3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋eq \f(π,3)， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))． (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝eq \f(10,uln 2)＝eq \f(10,（2x＋1）ln 2)． 求复合函数导数的步骤 求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x． 解：(1)令u＝2x－1，则y＝u4， ∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2 ＝8(2x－1)3． (2)令u＝2x＋3，则y＝10u， ∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′ ＝2ln 10·102x＋3． (3)y＝sin4x＋cos4x ＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x ＝1－eq \f(1,2)sin22x ＝1－eq \f(1,4)(1－cos 4x) ＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)cos 4x． 所以y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋\f(1,4)cos 4x))′＝－sin 4x． 题型三　复合函数导数的应用 [例 3]　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A．eq \r(5)　　　　　　　 B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．0 (2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝eq \f(1,4)相切，求实数a的值． 解析：(1)选A　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝eq \f(2,2x－1)， ∴y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1， ∴y0＝ln(2x－1)＝0，即切点坐标为(1，0)． ∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5)． (2)∵f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋eq \f(2,x－2)(x<2)， ∴f′(1)＝2a－2， ∴切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0． ∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝eq \f(|2－a|,\r(4（a－1）2＋1))＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(11,8)． 解决复合函数求导与导数几何意义综合 问题的方法 正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．　　 1．(变条件)若将本例(2)中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝eq \f(1,4)相交”，则a的取值范围为________． 解析：由例题(2)知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0． ∵直线l与圆c：x2＋y2＝eq \f(1,4)相交， ∴圆心到直线l的距离小于半径． 即d＝eq \f(|2－a|,\r(4（a－1）2＋1))<eq \f(1,2)．解得a>eq \f(11,8)． 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,8)，＋∞)) 2．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－eq \r(25－9t2)．求函数在t＝eq \f(7,15)时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数y＝5－eq \r(25－9t2)可以看作函数f(x)＝5－eq \r(x)和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量． 由导数公式表可得f′(x)＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)， φ′(t)＝－18t． 再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝ 将t＝eq \f(7,15)代入s′(t)，得s′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,15)))＝0．875(m/s)． 它表示当t＝eq \f(7,15)时，梯子上端下滑的速度为0．875 m/s． [课堂小结] 1．求复合函数的导数的3个注意点 (1)分解函数为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁． 2．复合函数求导的步骤 (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系； (2)要弄清每一步求导是哪个变量按什么公式求导，不要混淆； (3)将中间变量代回到自变量(如对x)的函数． $$