5.1.2 第1课时 导数的概念（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5．1 导数的概念及其意义 5．1．2　导数的概念及其几何意义 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 第1课时　导数的概念 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（十三） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 x0＋Δx f(x0＋Δx) 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 确定的值 极限 确定的值 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课时作业 (十三) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 学习目标 素养要求 1．了解导数概念的实际背景． 2．掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数． 1．通过导数概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到_________，相应地，函数值y从f(x0)变为______________，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 我们把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝______________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． eq \f(（x0＋Δx ）－f（x0）,Δx) 知识点二　导数的定义 [问题]　已知函数y＝8－3x2． (1)试求函数在[1，1＋Δx]这段时间内的平均变化率． (2)当Δx趋近于0时，问题(1)中的平均变化率趋近于何值？如何理解这一变化率？ 答：(1)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(8－3（1＋Δx）2－8＋3×12,Δx)＝－6－3Δx． (2)当Δx趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)趋近于－6．这时的平均变化率即x＝1时的瞬时变化率． ►知识填空 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个________，即eq \f(Δy,Δx)有____，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个________叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝________=_______________________ [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线．(　　) (2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．(　　) (3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于(　　) A．4　　　　　　　　 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析：选C　eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq \f(2（1＋Δx）2－2,Δx)＝4＋2Δx． 答案：4 3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是__________． 解析：∵f(x)＝x2，∴在x＝1处的瞬时变化率是 答案：2 4．函数y＝2x2＋1在x＝1处的导数为________． 题型一　函数在某点处的导数 [例 1]　(1)函数y＝eq \r(x)在x＝1处的导数为__________． (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 解析：(1)因为Δy＝eq \r(1＋Δx)－1， eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)， 答案：eq \f(1,2) (2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， ∴eq \f(Δy,Δx)＝6＋3Δx， 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)； (3)取极限，得导数f′(x0)＝．　　 利用导数的定义求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数． 解：Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx， ∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(3（Δx）2＋4Δx,Δx)＝3Δx＋4， 题型二　导数概念的理解 [例 2]　已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值． 解： 在导数的定义中，Δx是一个相对的量，当Δx→0时，kΔx→0，只要保证f(x＋kΔx)－f(x)与kΔx一致，即可将其作为一个整体，利用导数的概念进行求解．　　 1．(变条件)若将(1)改为“函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，求f′(x0)．” 解： 2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a　　　　　 B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 解析：选C　因为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(aΔx＋b（Δx）2,Δx)＝a＋bΔx， 题型三　导数的实际意义 [例 3]　航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)h(0)，h(1)分别表示什么？ (2)求第1 s内高度的平均变化率； (3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 解：(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度． (2)eq \f(Δh,Δt)＝eq \f(h（1）－h（0）,1－0)＝80(m/s)，即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s． 它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加． (1)平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的极限值． (2)已知运动物体在s＝s(t)解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度．　　 某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝eq \f(2,3)x3＋x2＋2x． (1)求在第1 s内的平均速度； (2)求在第1 s末的瞬时速度； (3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s? 解：(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为 eq \f(f（1）－f（0）,1－0)＝eq \f(11,3) m/s． (2)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx) ＝eq \f(\f(2,3)（1＋Δx）3＋（1＋Δx）2＋2（1＋Δx）－\f(11,3),Δx) ＝6＋3Δx＋eq \f(2,3)(Δx)2． 当Δx→0时，eq \f(Δy,Δx)→6， 所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s． (3)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝ eq \f(\f(2,3)（x＋Δx）3＋（x＋Δx）2＋2（x＋Δx）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x3＋x2＋2x)),Δx) ＝2x2＋2x＋2＋eq \f(2,3)(Δx)2＋2x·Δx＋Δx． 当Δx→0时，eq \f(Δy,Δx)→2x2＋2x＋2， 令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2， 即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s． [课堂小结] 1．实例引出函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成导数的概念，体现了从特殊推向一般的思想和方法． 2．平均变化率的求法：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)． 3．在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式： $$