5.1.1 变化率问题（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5．1 导数的概念及其意义 5．1．1 变化率问题 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（十二） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 某一时刻 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课时作业 (十二) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 学习目标 素养要求 1．理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念． 2．掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法． 1．通过对平均变化率、瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助求平均变化率与瞬时变化率，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　平均变化率 [问题]　在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4．9t2＋4．8t＋11． (1)在0≤t≤0．5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (2)在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (3)在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度又是多少？eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1＜t2∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(48,49))))) 答：(1)＝eq \f(h（0.5）－h（0）,0.5－0)＝2．35(m/s)． (2)＝eq \f(h（2）－h（1）,2－1)＝－9．9(m/s)． (3)＝eq \f(h（t2）－h（t1）,t2－t1)． 知识点二　瞬时变化率 [问题]　如何求跳水运动员在t＝1时的速度？ 答：可以求在[1，1＋Δt]时的平均速度，当Δt很小时，可以近似认为平均速度就是t＝1时的速度． ►知识填空 1．瞬时速度：把物体在________的速度称为瞬时速度． 2．平均速度与瞬时速度的关系 事实上，由＝eq \f(h（1＋Δt）－h（1）,（ 1＋Δt）－1)＝－4．9Δt－5可以发现，当Δt无限趋近于0时，4．9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－5．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，＝eq \f(h（1＋Δt）－h（1）,Δt)的极限”，记为 从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度．因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v(1)＝－5 m/s． 知识点三　抛物线的切线的斜率 [问题]　已知抛物线f(x)＝x2，P0(1，1)在抛物线上，抛物线上有异于P0的点P(x，x2)． (1)割线P0P的斜率k是什么？ (2)当点P趋近于点P0时，割线 P0P与过点P的切线PT有什么关系？ 答：(1)割线P0P的斜率k＝eq \f(f（x）－f（1）,x－1)． (2)当点P趋近于点P0时，割线P0P趋近于过点P的切线PT． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　　) (2)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0．(　　) (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的量．(　　) (4)在瞬时变化率中，Δt可以为零．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B　eq \f(f（3） －f（1）,3－1)＝eq \f(1－3,2)＝－1． 3．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则l＝(　　) A．－2f′(2)　　　　 B．2f′(2) C．－eq \f(1,2)f′(2) D．eq \f(1,2)f′(2) 解析：选C　 4．抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为______． 解析：＝2． 答案：2 题型一　求平均变化率 [例 1]　已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 解：自变量x从1变到2时， 函数f(x)的平均变化率为： eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))－（1＋1）,1)＝eq \f(1,2)； 自变量x从3变到5时， 函数f(x)的平均变化率为： eq \f(f（5）－f（3）,5－3)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,5)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq \f(14,15)． 因为eq \f(1,2)<eq \f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1； (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)．　　 函数y＝x2＋5在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2　　　　　　　 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 解析：选C　∵(1＋Δx)2＋5－(12＋5)＝2Δx＋Δx2， ∴eq \f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx，故选C． 题型二　求瞬时变化率 [例 2]　(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－eq \f(1,2)gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________． (2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在t＝1时的瞬时速度是________． 解析：(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－eq \f(1,2)g(t0＋Δt)2－2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0t0－\f(1,2)gt)) ＝v0Δt－gt0Δt－eq \f(1,2)gΔt2， ∴eq \f(Δs,Δt)＝v0－gt0－eq \f(1,2)gΔt， ，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0． (2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13 ＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2 ＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2 ＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt， ∴eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2（Δt）3＋6（Δt）2＋6Δt,Δt)＝2(Δt)2＋6Δt＋6， ，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6． 答案：(1)v0－gt0　(2)6 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度． (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于常数v，即为瞬时速度．　　 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2．求此物体在t＝2时的瞬时速度． 解：取一时间段[2，2＋Δt]， Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2， eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(－Δt－（Δt）2,Δt)＝－1－Δt， 所以当t＝2时，此物体的瞬时速度为－1． 题型三　曲线的切线 [例 3]　求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程． 解：因为点(1，3)在曲线上，过点(1，3)的切线的斜率为 故所求切线方程为y－3＝2(x－1)， 即2x－y＋1＝0． 若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝k(x－x0)．　　 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程． 解：由eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx) ＝eq \f(（1＋Δx）2－2（1＋Δx）＋3－2,Δx)＝Δx， 可得切线的斜率为． 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)， 即y＝2． [课堂小结] 1．求平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1． (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)． 2．求瞬时速度的一般步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度． (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时， eq \f(Δs,Δt)无限趋近于常数v，即为瞬时速度． $$