4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．2　等差数列 4．2．2　等差数列的前n项和 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（六） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 小 大 S1 小 S1 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课时作业 (六) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 学习目标 素养要求 1．能利用等差数列的前n项和解决实际问题． 2．会求等差数列前n项和的最值． 1．通过利用等差数列的前n项和解决实际问题，培养数学建模的核心素养． 2．通过求等差数列前n项和的最值，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　等差数列前n项和Sn的最值 [问题]　我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？ 答：由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn一般先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn一般先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． ►知识填空 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值． 特别地，若a1>0，d>0，则_____是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，则_____是{Sn}的最大值． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(　　) (2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．(　　) (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝eq \f(1,2)(p＋q)处取得最大值或最小值．(　　) 答案：(1)×　(2)√ (3)×　提示：当eq \f(1,2)(p＋q)是正整数，即p＋q是偶数时结论才成立． 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A．6　　　　 　　　 B．7 C．8 D．9 解析：选A　由a4＋a6＝2a5＝－6， 解得a5＝－3， 又a1＝－11，所以a5＝a1＋4d＝－11＋4d＝－3， 解得d＝2， 则an＝－11＋2(n－1)＝2n－13， 所以Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝n2－12n＝(n－6)2－36， 所以当n＝6时，Sn取最小值． 3．数列{an}中，an＝2n－49，当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n＝________． 解析：由an＝2n－49知{an}是等差数列，an>0⇒n>eq \f(49,2)，∴n＝24． 答案：24 4．设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最______(填“大”或“小”)值为________． 解析：因为an＝14－3n，所以a1＝11，公差d＝an－an－1＝－3，所以Sn有最大值． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝14－3n≥0，,an＋1＝14－3（n＋1）≤0，))得n＝4，则其最大值为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26． 答案：大　26 题型一　等差数列前n项和的实际应用 [例 1]　在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？ 解：(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}， 由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9． 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a9＝9＋(9－1)×9＝81(块)． (2)由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板S9＝9a1＋eq \f(9×（9－1）,2)d＝9×9＋eq \f(9×8,2)×9＝405(块)． 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．　　 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－eq \f(1,3)． 25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 题型二　等差数列前n项和的最值问题 [例 2]　在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 解：法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋eq \f(9（9－1）,2)d＝17×25＋eq \f(17（17－1）,2)d， 解得d＝－2． ∴Sn＝25n＋eq \f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169． ∴当n＝13时，Sn有最大值，即S13＝169． 法二：同法一，求出公差d＝－2． ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27． ∵a1＝25>0， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝－2n＋27≥0，,an＋1＝－2（n＋1）＋27≤0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n≤13\f(1,2)，,n≥12\f(1,2)，)) ∴当n＝13时，Sn有最大值． S13＝25×13＋eq \f(13（13－1）,2)×(－2)＝169，因此Sn的最大值为169． 法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0． 由等差数列的性质得a13＋a14＝0． ∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0． ∴当n＝13时，Sn有最大值． S13＝25×13＋eq \f(13（13－1）,2)×(－2)＝169． 因此Sn的最大值为169． 法四：设Sn＝An2＋Bn． ∵S9＝S17， ∴二次函数对称轴为n＝eq \f(9＋17,2)＝13，且开口方向向下， ∴当n＝13时，Sn取得最大值． 由法一知d＝－2，∴S13＝25×13＋eq \f(13（13－1）,2)×(－2)＝169． 因此Sn的最大值为169． 求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法 (1)通项法 若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))来确定； 若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来确定． (2)二次函数法 在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．　　 已知等差数列{an}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13． (1)求公差d的值； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值． 解：(1)由11a5＝5a8－13，得11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13． ∵a1＝－3，∴d＝eq \f(5,9)． (2)法一：Sn＝－3n＋eq \f(n（n－1）,2)×eq \f(5,9)＝eq \f(5,18)n2－eq \f(59,18)n＝eq \f(5,18) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(59,10))) eq \s\up12(2)－eq \f(592,360)， 由于n∈N*，所以当n＝6时，Sn取最小值，S6＝－eq \f(29,3)． 法二：an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×eq \f(5,9)． 令an≤0，得n≤eq \f(32,5)， ∴a1<a2<…<a6<0<a7<…． ∴Sn的最小值为S6＝6a1＋eq \f(6×5d,2)＝6×(－3)＋15×eq \f(5,9)＝－eq \f(29,3)． 题型三　已知等差数列{an}，求数列{|an|}的前n项和问题 [例 3]　已知{an}为等差数列，an＝10－3n，求数列{|an|}的前n项和． 解：由于an有正也有负，当an≥0时， |an|＝an； 当an<0时，|an|＝－an．当an＝10－3n≥0时，n≤eq \f(10,3)．设数列{|an|}的前n项和为Sn， 则有Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋…＋an（n≤3），,a1＋a2＋a3－a4－a5－…－an（n≥4）)) ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋an,2)·n（n≤3），,2（a1＋a2＋a3）－（a1＋a2＋a3＋…＋an）（n≥4）)) ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－3n2＋17n,2)（n≤3），,\f(3n2－17n＋48,2)（n≥4）.)) 求数列{|an|}的前n项和实际上是求数列{an}前n项的绝对值之和．由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前n项各项的绝对值之和．　　 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为(　　) A．56　　　　　　 B．58 C．62 D．60 解析：选D　因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－5n＋7，两式相减可得an＝2n－6，当n＝1时，a1＝S1＝－2, 不满足上式，故an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，n＝1，,2n－6，n≥2，))则数列{an}从第二项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{|an|}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋eq \f(7×（2＋14）,2)＝60． [课堂小结] 1．熟记等差数列前n项和公式． 2．掌握2种求Sn最大(小)值的方法． (1)通项公式法； (2)函数性质法． 3．注意求Sn最大(小)值的1个易错点 由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 4．明确{|an|}求和中的易错点：正负交界处判断出错 由于数列{|an|}的前n项和的求法与n的大小有关，所以需要由不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))找出满足条件的临界值n，再写成分段函数形式． $$