4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．2　等差数列 4．2．2　等差数列的前n项和 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第1课时　等差数列的前n项和 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（五） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课时作业 (五) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 学习目标 素养要求 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系． 2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用． 1．通过对等差数列前n项和的推导，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．借助等差数列的前n项和公式及性质的应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　等差数列的前n项和 [问题]　如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． (1)共有几层？图形的横截面是什么形状？ (2)假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样的一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？ (3)原来有多少根钢管？ (4)能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? (5)试用a1，d，n表示Sn． 答：(1)六层，等腰梯形． (2)(4＋9)×6＝78． (3)eq \f(1,2)×78＝39． (4)能．Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)． (5)∵an＝a1＋(n－1)d， ∴Sn＝eq \f(n[a1＋a1＋（n－1）d],2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d． ►知识填空 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝________________ Sn＝____________________ eq \f(n（a1＋an）,2) na1＋eq \f(n（n－1）,2)d eq \a\vs4\al([点睛]) Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)与Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用．当已知a1，an时，多用Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列的首项、公差，可求S10．(　　) (2)在等差数列中涉及到a1，d，n，an，Sn五个量，利用方程思想可以“知三求二”．(　　) (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等．(　　) (4)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13　　　　 　　　 B．35 C．49 D．63 解析：选C　∵a2＋a6＝a1＋a7＝14， ∴S7＝eq \f(7（a1＋a7）,2)＝49． 3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________． 解析：∵an＝－5n＋2，∴数列{an}是等差数列， 且a1＝－3，公差d＝－5， ∴Sn＝eq \f(n（－3－5n＋2）,2)＝－eq \f(n（5n＋1）,2)． 答案：－eq \f(n（5n＋1）,2) 4．在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝________，项数n＝________． 解析：由等差数列的通项公式和前n项和公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(54＝20＋（n－1）d，,999＝\f(n（20＋54）,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝27，,d＝\f(17,13).)) 答案：eq \f(17,13)　27 题型一　等差数列前n项和的有关计算 [例 1]　在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝eq \f(48,5)，求S5． 解：(1)法一：∵a6＝10，S5＝5， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝10，,5a1＋10d＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝3.)) ∴a8＝a6＋2d＝16． 法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝eq \f(6（a1＋a6）,2)，即3(a1＋10)＝15． ∴a1＝－5，d＝eq \f(a6－a1,5)＝3． ∴a8＝a6＋2d＝16． (2)法一：因为a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝eq \f(48,5)， 所以a1＋2d＝eq \f(24,5)． 所以S5＝5a1＋eq \f(1,2)×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×eq \f(24,5)＝24． 法二：a2＋a4＝a1＋a5， 所以a1＋a5＝eq \f(48,5)． 因为Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)， 所以S5＝eq \f(5×（a1＋a5）,2)＝eq \f(5,2)×eq \f(48,5)＝24． 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)结合使用．　　 在等差数列{an}中： (1)已知a1＝eq \f(3,2)，d＝－eq \f(1,2)，Sm＝－15，求m及am； (2)已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d； (3)已知S5＝24，求a2＋a4． 解：(1)∵Sm＝m·eq \f(3,2)＋eq \f(m（m－1）,2)·－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－15， 整理，得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)， ∴am＝a12＝eq \f(3,2)＋(12－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4． (2)由Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝eq \f(n·（－512＋1）,2)＝－1 022， 得n＝4，又由an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d， 解得d＝－171． (3)法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋eq \f(5×（5－1）,2)d＝24，得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝eq \f(24,5)． ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×eq \f(24,5)＝eq \f(48,5)． 法二：由S5＝eq \f(5（a1＋a5）,2)＝24， 得a1＋a5＝eq \f(48,5)． ∴a2＋a4＝a1＋a5＝eq \f(48,5)． 题型二　an与Sn的关系的应用 [例 2]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n． (1)求a1及an； (2)判断这个数列是否是等差数列． 解：(1)因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32． 经验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32． (2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列． 利用Sn判断{an}是否为等差数列 如果数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}成等差数列．　　 1．(变条件)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an并判断数列{an}是否是等差数列． 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32． 经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－27，n＝1，,4n－32，n≥2，))所以数列{an}不是等差数列． 2．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝aeq \o\al(2,n)＋n－4． (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝aeq \o\al(2,1)＋1－4，即aeq \o\al(2,1)－2a1－3＝0，因为an>0，解得a1＝3． 当n≥2时，有2Sn－1＝aeq \o\al(2,n－1)＋n－5， 又2Sn＝aeq \o\al(2,n)＋n－4，两式相减得2an＝aeq \o\al(2,n)－aeq \o\al(2,n－1)＋1， 即aeq \o\al(2,n)－2an＋1＝aeq \o\al(2,n－1)，即(an－1)2＝aeq \o\al(2,n－1)， 所以an－1＝an－1或an－1＝－an－1． 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾， 所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1(n≥2)，因此数列{an}为等差数列． (2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2． 题型三　等差数列前n项和的性质 [例 3]　 (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A．130　　　　　　 B．170 C．210 D．260 (2)已知等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项和为__________． 解析：(1)利用等差数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210． (2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3， 所以Sn＝eq \f(n（3＋2n＋1）,2)＝n2＋2n， 所以eq \f(Sn,n)＝n＋2， 所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为1，首项为3的等差数列， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项和为3×10＋eq \f(10×9,2)×1＝75． 答案：(1)C　(2)75 等差数列前n项和的常用性质 (1)等差数列的连续n项的和仍成等差数列，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列，且公差为n2d． (2)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，公差为数列{an}的公差的eq \f(1,2)． (3)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,S′2n－1)． (4)关于等差数列{an}奇数项与偶数项的性质： 若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)； 若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an， S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1)．　　 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________． 解析：数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．因为S3＝9，S6－S3＝27，所以S9－S6＝45，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45． 答案：45 2．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果eq \f(Sn,Sn′)＝eq \f(7n＋1,4n＋27)(n∈N*)，则eq \f(a11,b11)的值是(　　) A．eq \f(7,4)　　　　　　　　 B．eq \f(3,2) C．eq \f(4,3) D．eq \f(78,71) 解析：选C　由等差数列前n项和的性质，得eq \f(a11,b11)＝eq \f(2a11,2b11)＝eq \f(a1＋a21,b1＋b21)＝eq \f(\f(21,2)（a1＋a21）,\f(21,2)（b1＋b21）)＝eq \f(S21,S21′)＝eq \f(7×21＋1,4×21＋27)＝eq \f(4,3)． [课堂小结] 1．与等差数列前n项和公式有关的计算 等差数列前n项和公式Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)、Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d中，含有5个基本量a1，an，n，d，Sn，在这5个量中利用方程的思想方法可以“知三求二”． 2．利用等差数列前n项和公式求Sn 当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好． $$