4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．2　等差数列 4．2．1　等差数列的概念 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第1课时　等差数列的概念及简单表示 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（三） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第2项 前一项 同一个常数 公差 d 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 A 2A＝a＋b 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 an＋1－an a1＋(n－1)d 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课时作业 (三) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 学习目标 素养要求 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的判定方法． 3．掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念，并能简单应用． 1．通过等差数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．根据等差数列的判断与证明，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　数列的概念 1．奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48，53，58，63． 2．鞋的尺码，按照国家规定，有22，22．5，23，23．5，24，24．5，…． [问题1]　上面两组数能构成数列吗？ 答：能． [问题2]　若上面两组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点． ►知识填空 定义：如果一个数列从______起，每一项与它的______的差等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母__表示． 知识点二　等差中项 [问题]　已知等差数列2，5，8，11，14，17，任意连续三项之间有什么样的关系？ 答：各等于同一个常数． 答：前一项与后一项的和是中间项的2倍． ►知识填空 等差中项：如果三个数a，A，b成等差数列，这时__叫做a与b的等差中项，并且_____________． eq \a\vs4\al([点睛]) (1)任意两个实数都有等差中项． (2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}为等差数列．　　 知识点三　等差数列的通项公式 若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d． [问题1]　试用a1，d表示a2，a3，a4． [问题2]　由此猜想等差数列的通项公式an． 答：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d． 答：an＝a1＋(n－1)d． ►知识填空 等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则： 递推公式 通项公式 _______________＝d an＝________________ 知识点四　从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)． (1)an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值； (2) 函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象表示的是斜率为d，截距为a1－d的直线； (3)任意一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，都可以构成等差数列{kn＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，1，1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (4)数列{an}满足an＋1－an＝1(n>1)，则数列{an}是等差数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　) A．4－2n　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：选C　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n． 3．(多选)数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为7的等差数列 D．是公差为n的等差数列 解析：选AC　∵an＝2n＋5＝2(n－1)＋7，∴首项a1＝7，公差d＝2，故选AC． 4．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　) A．eq \r(5 ) B．±eq \r(5) C．3 D．±3 答案：C 题型一　等差数列的通项公式及应用 [例 1]　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9． 解：(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝－1，,a1＋7d＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.)) (2)设数列{an}的公差为d． 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋5d＝12，,a1＋3d＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.)) ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17． 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．　　 1．2 022是等差数列4，6，8，…的(　　) A．第1 007项　　　　 B．第1 008项 C．第1 009项 D．第1 010项 解析：选D　∵此等差数列的公差d＝2， ∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2， 即2 022＝2n＋2，∴n＝1 010． 2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（15－1）d＝33，,a1＋（61－1）d＝217，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－23，,d＝4.)) 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*， 所以153是所给数列的第45项． 题型二　等差中项的应用 [例 2]　(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________． (2)已知等差数列{an}满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，求数列{an}的通项公式． 解析：(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，)) ∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12， ∴eq \f(m＋n,2)＝6． 答案：6 (2)∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6． ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝12，,a2·a4＝11，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a4＝11.)) 当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1))时，a1＝16，d＝－5， ∴an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21． 当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a4＝11))时，a1＝－4，d＝5， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9． 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝eq \f(a＋c,2)(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．　　 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，则b＝eq \f(－1＋7,2)＝3． 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1． 又c是3与7的等差中项，∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5． ∴该数列为－1，1，3，5，7． 题型三　等差数列的判定与证明 [例 3]　已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)． (1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？请说明理由； (2)求an． 解：(1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)， ∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)， ∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)， 即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，公差为d＝eq \f(1,2)的等差数列． (2)由上述可知eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(n,2)， ∴an＝eq \f(2,n)． 等差数列的判定的三种方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数) (n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b)是常数(n∈N*)⇔{an}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．　　 1．(变条件、变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq \f(1,an－2)”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)bn＋1－bn＝eq \f(1,an＋1－2)－eq \f(1,an－2) ＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)－2))) －eq \f(1,an－2)＝eq \f(an,2（an－2）)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an－2,2（an－2）)＝eq \f(1,2)． 又b1＝eq \f(1,a1－2)＝eq \f(1,2)，∴数列{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列． (2)由(1)知bn＝eq \f(1,2)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)n． ∵bn＝eq \f(1,an－2)，∴an＝eq \f(1,bn)＋2＝eq \f(2,n)＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,n)＋2． 2．已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*)． (1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由eq \f(1,an＋1－2)＝eq \f(1,\f(6an－4,an＋2)－2) ＝eq \f(an＋2,（6an－4）－2（an＋2）) ＝eq \f(an＋2,4an－8)＝eq \f(（an－2）＋4,4（an－2）)＝eq \f(1,an－2)＋eq \f(1,4)， 得eq \f(1,an＋1－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(1,4)，n∈N*， 故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差数列． (2)由(1)知eq \f(1,an－2)＝eq \f(1,a1－2)＋(n－1)×eq \f(1,4)＝eq \f(n＋3,4)， 所以an＝eq \f(2n＋10,n＋3)，n∈N*． [课堂小结] 1．理解等差数列的定义需注意的问题 (1)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻． (2)注意定义中的“同一个常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列． 2．(1)由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量． (2)等差数列的证明方法． $$