4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的和（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．1　数列的概念 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第2课时　数列的递推公式与数列的和 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（二） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 两项或多项 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 a1＋a2＋…＋an 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课时作业 (二) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 学习目标 素养要求 1．理解递推公式的含义． 2．掌握递推公式的应用． 3．掌握数列前n项和的概念并能由Sn求an． 1．通过递推公式的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过由Sn求an，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　数列的递推关系 [问题]　某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数． (2)第n排与第n＋1排座位数有何关系？ (3)第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 答：(1)20，22，24，26，28． (2)第n＋1排比第n排多2个座位． (3)能．an＋1＝an＋2． ►知识填空 数列的递推公式：如果一个数列的相邻__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． eq \a\vs4\al([点睛]) (1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式； (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能给定一个数列．　　 知识点二　数列的前n项和Sn与an的关系 [问题]　已知一个数列的前9项的和为90，前10项的和为120，你能求出第10项吗？ 答：能．第10项是30． ►知识填空 1．数列的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝___________________． 2．数列中an与Sn的关系：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1 ，n≥2.)) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (2)所有数列都有递推公式．(　　) (3)仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列．(　　) (4)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝eq \f(2,an)＋1，则这个数列的第2项是(　　) A．eq \f(11,7)　　　　　　　　 B．3 C．eq \f(21,11) D．6 答案：B 3．数列eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…的递推公式可以是(　　) A．an＝eq \f(1,2n＋1)(n∈N*) B．an＝eq \f(1,2n)(n∈N*) C．an＋1＝eq \f(1,2)an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 解析：选C　数列从第2项起，后一项是前一项的eq \f(1,2)，故递推公式为 an＋1＝ eq \f(1,2)an(n∈N*)． 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8＝________． 答案：15 题型一　数列的递推公式 [例 1]　(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝eq \f(1,2)an＋eq \f(1,2n)，则此数列的第3项是(　　) A．1　　　B．eq \f(1,2)　　　C．eq \f(3,4)　　　D．eq \f(5,8) (2)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通项an． 解析：(1)选C　a1＝1，a2＝eq \f(1,2)a1＋eq \f(1,2)＝1，a3＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2×2)＝eq \f(3,4)． (2)当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1． a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式是 an＝2n－1，n∈N*． 1．由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． 2．由递推公式求数列通项的方法 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的递推公式，可以利用a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式．以上方法分别叫累加法和累乘法．　　 1．已知数列{an}满足an＋1＝1－eq \f(1,an)，且a1＝2，则a2 021的值为(　　) A．eq \f(1,2)　　　　　　　 B．－1 C．2 D．1 解析：选A　由an＋1＝1－eq \f(1,an)及a1＝2，得a2＝eq \f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，…，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，eq \f(1,2)，－1，2，eq \f(1,2)，－1，…．而2 021＝673×3＋2，故a2 021＝a2＝eq \f(1,2)． 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(n,n＋1)an．若数列{an}中各项均不为零，则有a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n)(n≥2，n∈N*)，求通项an． 解：当n≥2时， an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)＝1×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×…×eq \f(n－1,n)＝eq \f(1,n)． a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝eq \f(1,n)，n∈N*． 题型二　利用Sn与an 的关系求通项公式 [例 2]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－10n，求a1及an． 解：因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10×1＝－9， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11． 经验证当n＝1时上式成立，所以an＝ 2n－11． 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1． (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1． (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))　　 1．(变条件)将本例的条件“Sn＝n2－10n”改为“Sn＝n2－10n＋1”，其他条件不变，求an． 解析：因为Sn＝n2－10n＋1，所以当n＝1时， a1＝S1＝12－10×1＋1＝－8， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n＋1－[(n－1)2－10(n－1)＋1]＝2n－11． 经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－8，n＝1，,2n－11，n≥2.)) 2．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an． (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式， 所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7，n＝1，,4n＋1，n≥2.)) (2)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式，所以an＝2×3n－1． 题型三　数列中的最大项、最小项 [例 3]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4．求： (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－5n＋4<0， 解得1<n<4． ∵n∈N*， ∴n＝2，3．∴数列中有两项是负数． (2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)， 可知对称轴方程为n＝eq \f(5,2)＝2．5． 又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值， 且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2． 法二：设第n项最小，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1，)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2－5n＋4≤（n＋1）2－5（n＋1）＋4，,n2－5n＋4≤（n－1）2－5（n－1）＋4.)) 解不等式组，得2≤n≤3， ∴n＝2或3时，an有最小值且a2＝a3， ∴最小值为22－5×2＋4＝－2． 求数列{an}的最大(小)项的方法 (1)利用判断函数单调性的方法，先判断数列的单调情况，再求数列的最大项或最小项． (2)设ak是最大项，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1，))对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可．　　 已知an＝eq \f(9n·（n＋1）,10n)(n∈N*)，则数列{an}中有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． 解：法一：函数单调性法 令f(n)＝an，则f(n＋1)－f(n)＝an＋1－an＝eq \f(9n＋1（n＋2）,10n＋1)－eq \f(9n（n＋1）,10n)＝eq \f(9n,10n＋1)(8－n)． 当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an， 即{an}在n<8时单调递增； 当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an， 得a8＝a9； 当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1<an， 即{an}在n>8时单调递减． 所以数列{an}的最大项是第8项和第9项， 即a8＝a9＝eq \f(99,108)． 法二：不等式组法 设an最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9n·（n＋1）,10n)≥\f(9n－1·n,10n－1)，,\f(9n·（n＋1）,10n)≥\f(9n＋1·（n＋2）,10n＋1)，)) 解得8≤n≤9． 又因为n∈N*，所以n＝8或9． 故{an}的最大项为a8＝a9＝eq \f(99,108)． [课堂小结] 1．掌握数列通项公式的求法 (1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳； (2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)； (3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)； (4)利用an与Sn关系，即an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)) 2．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an． 3．通项公式an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1） ，,Sn－Sn－1（n≥2），)) 要注意表达式能否合并． $$