4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．1　数列的概念 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第1课时　数列的概念与简单表示法 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（一） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 顺序 每一个数 首项 {an} 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 大于 小于 相等 大于 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 序号n 正整数集N* 从小到大依次取值 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课时作业 (一) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 学习目标 素养要求 1．理解数列的概念，了解数列的函数特性． 2．掌握数列的通项公式及应用． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 1．通过数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．根据数列的通项公式与函数的关系，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　数列的概念 观察下列示例，回答后面问题． (1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数依次是1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，eq \f(1,6)． (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2，4，－8，16． (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740，1823，1906，1989，2072，…． (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，eq \f(1,32)，…． [问题]　观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 答：按照一定的顺序排列． ►知识填空 (1)定义：按照确定的____排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的________叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为____)，a2称为第2项，…，an称为第n项． (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为________． eq \a\vs4\al([点睛]) 表示数列时不要漏写“{}”，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母．　　 知识点二　数列的分类 [问题]　观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？ 答：数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)是有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中每一项的大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项． ►知识填空 类别 含义 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列 常数列 各项都____的数列 摆动数列 从第2项起，有些项____它有前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点三　数列的通项公式 [问题1]　观察“知识点一”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？ 答：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示． [问题2]　能够表示出的通项公式是否是函数关系式？ 答：数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数解析式． ►知识填空 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 __________(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量________________时对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 eq \a\vs4\al([点睛]) 以前学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的函数．　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．(　　) (2)数列中的每一项都与它的序号有关．(　　) (3)an与{an}是不同的概念．(　　) (4)所有数列都有通项公式．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．数列{an}的通项公式是an＝n＋1，它的图象是(　　) A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 答案：B 3．已知数列{an}的前4项为：1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，－eq \f(1,4)，则数列{an}的通项公式可能为(　　) A．an＝eq \f(1,n)　　　　 B．an＝－eq \f(1,n) C．an＝eq \f(（－1）n,n) D．an＝eq \f(（－1）n－1,n) 解析：选D　特殊值验证． 4．数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋2，n是奇数,n－3，n是偶数，)) 则a3＋a6＝________． 解析：a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8． 答案：8 题型一　数列的概念及分类 [例 1]　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1不是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 (2)下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？ ①2 012，2 014，2 016，2 018，2 020，2 022； ②0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…； ③1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…； ④－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…； ⑤1，0，－1，…，sineq \f(nπ,2)，…； ⑥9，9，9，9，9，9． 解析：(1)选BC　{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B正确；在D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确． (2)①②是递增数列；③是递减数列；④⑤是摆动数列；⑥是常数列． 1．有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 2．数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则是递增数列；若满足an>an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．　　 给出下列数列： (1)美国某段时间新冠肺炎确诊人数构成的数列352546，383256，419338，452987，490442，521323，547486． (2)无穷多个eq \r(3)构成数列eq \r(3)，eq \r(3)，eq \r(3)，eq \r(3)，…． (3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列－2，4，－8，16，－32，…． 其中，递增数列是________，常数列是__________，摆动数列是________． 题型二　由数列的前几项写出数列的一个通项公式 [例 2]　写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)； (2)eq \r(3)，3，eq \r(15)，eq \r(21)； (3)0．9，0．99，0．999，0．999 9； (4)3，5，3，5． 解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列各项的绝对值可以看作是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·eq \f(1,n)． (2)数列可化为eq \r(3)，eq \r(9)，eq \r(15)，eq \r(21)，即eq \r(3×1)，eq \r(3×3)，eq \r(3×5)，eq \r(3×7)，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝eq \r(3（2n－1）)＝eq \r(6n－3)． (3)原数列可变形为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,102)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,103)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))，…，故数列的一个通项公式为 an＝1－eq \f(1,10n)． (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（n为奇数），,5（n为偶数）.))此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为eq \f(3＋5,2)＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n． 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．　　 写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)0，eq \f(22－2,5)，eq \f(32－3,10)，eq \f(42－4,17)，…； (4)1，11，111，1 111，…． 解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1． (2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1(2n－1)． (3)因为5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为an＝eq \f(n2－n,n2＋1)(n∈N*)． (4)原数列的各项可变为eq \f(1,9)×9，eq \f(1,9)×99，eq \f(1,9)×999，eq \f(1,9)×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1．所以原数列的一个通项公式为an＝eq \f(1,9)(10n－1)． 题型三　根据通项公式确定数列的项 [例 3]　已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,n（n＋2）)(n∈N*)． (1)计算a3＋a4的值； (2)eq \f(1,120)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 解：(1)∵an＝eq \f(1,n（n＋2）)， ∴a3＝eq \f(1,3×5)＝eq \f(1,15)，a4＝eq \f(1,4×6)＝eq \f(1,24)， ∴a3＋a4＝eq \f(1,15)＋eq \f(1,24)＝eq \f(13,120)． (2)若eq \f(1,120)为数列{an}中的项， 则eq \f(1,n（n＋2）)＝eq \f(1,120)， ∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0， ∴n＝10或n＝－12(舍)， 即eq \f(1,120)是数列{an}的第10项． 已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是不是数列{an}的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程．若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项；若关于n的方程无解或有解但为非正整数解，则该数不是数列{an}中的项．　　 1．已知数列eq \r(2)，eq \r(5)，2eq \r(2)，eq \r(11)，…，则2eq \r(5)是该数列的第______项． 解析：∵ a1＝eq \r(2)，a2＝eq \r(5)，a3＝eq \r(8)，a4＝eq \r(11)， ∴an＝eq \r(3n－1)． 由eq \r(3n－1)＝2eq \r(5)⇒3n－1＝20⇒n＝7， ∴2eq \r(5)是该数列的第7项． 答案：7 2．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)，则 (1)这个数列的第4项是________； (2)65是这个数列的第________项． 解析：(1)由a4＝42－4×4－12＝－12， 得第4项是－12． (2)由an＝n2－4n－12＝65， 得n＝11或n＝－7(舍去)， ∴65是第11项． 答案：(1)－12　(2)11 [课堂小结] 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3．1，3．14，3．141，…，它没有通项公式． 3．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． $$