专题2.4点与直线的距离（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

第 1 页 共 10 页 专题 2.4 点与直线的距离 教学目标 1、理解并掌握两点之间的距离、点到直线的距离、两平行直线的距离公式； 2、掌握几种距离公式的应用； 教学重难点 1、重点：三个距离公式； 2、难点：点到直线的距离、两平行直线的距离. 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. 特例：点 P(x，y)到原点 O(0,0)的距离|OP|＝ x2＋y2. 【即学即练 1】(24-25 高一下·北京延庆·期中)已知平行四边形 ABCD的三个顶点  2,1A  ，  2,2B ，  4,5C ， 而且A， B，C，D按逆时针方向排列，则线段 AD的长度为 ，D点的坐标为 ． 点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d = Ax0+By0+C A2+B2 . 特例：若直线为 l：x=m，则点 0 0 0( , )P x y 到 l的距离 0| | d m x ； 若直线为 l：y=n，则点 0 0 0( , )P x y 到 l的距离 0| | d n y 【即学即练 2】(24-25 高二上·新疆喀什·期末)点  1,2M  到直线3 4 6 0x y   的距离为( ) A． 2 B．2 C． 1 D．1 l1：Ax＋By＋C1＝0与 l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d = C1−C2 A2+B2 . 第 2 页 共 10 页 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 【即学即练 3】(24-25 高二下·浙江·期中)若直线 1 : 2 1 0l x y   与直线  2 : 2 0 Rl kx y k    平行，那么这 两条直线之间的距离为( ) A． 3 5 B． 1 5 C． 3 5 5 D． 5 5 【即学即练 4】(24-25 高二上·山东青岛·期中)数学家欧拉(Euler)1765 年在《三角形的几何学》一书中提出： 任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若∆ABC顶点 A( − 2,0), B(0,4), C(4,0)，则欧拉线方程为 ． 题型 01 两点之间的距离 【典例 1-1】(23-24 高二下·全国·课后作业)已知 ( ,0), (0,10)A a B ，且 | | 17AB  ，则 a的取值可能为( ) A．7 B． 7 C．3 21 D． 3 21 【典例 1-2】(24-25 高三上·上海·阶段练习)在平面直角坐标系内，点  ,P a b 的坐标满足 a b ，且 ,a b都是集 合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又点 P到原点的距离 5OP  ，则这样的点 P的个数为 . 【典例 1-3】(23-24 高一下·贵州遵义·期末)已知  1,2A ，  2,3B ，  2,5C  ，则三角形 ABC的面积为( ) A．3 B．5 C．7 D．8 【变式 1-1】(23-24 高二上·新疆喀什·期末)已知点  3,3 3A a  与点  ,3B a 之间的距离为 5，则实数 a的值 为 ． 【变式 1-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)在数轴上，已知    3 , 1 ,A B AB 的中点为C，则 BC  ( ) A． 12 B．1 C．2 D． 3 2 【变式 1-3】(24-25 高一下·四川成都·期中)∆ABC的三个顶点的坐标分别为  2,1A  ，  1,0B  ，  0,5C ，则( ) A．角A为直角 B．角A为锐角 C．角A为钝角 D．角 B为钝角 【变式 1-4】(24-25 高一下·浙江杭州·期中)在直角坐标系中， ( 1, 1), (1,3), )(3, 3 2,5), (M QN P   ，则以下判断 正确的是( ) 第 3 页 共 10 页 A． MPQ 为直角三角形 B．M ， N， P，Q依次连起来是一个四边形 C． 2 13cos 13 MPQ  D． 5PQNS △ 【变式 1-5】(25-26 高二上·全国·单元测试)著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．” 事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 2 2( ) ( )x a y b   可以转化为平面上点  ,M x y 与点  ,N a b 的距离．结合上述观点，可得 2 22 5 1x x x    的最大值为( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 题型 02 点到直线的距离 【典例 2-1】(2025·广东深圳·模拟预测)点  1,3P  关于直线 0x y  的对称点为Q，则点Q到直线 3 2 0x y   的距离为( ) A． 3 5 5 B．3 10 C． 3 10 5 D． 10 【典例 2-2】(24-25 高一下·浙江宁波·期末)已知直线 l过点  2,2P 且倾斜角为135，则点  2,0Q  到直线 l 的距离为( ) A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2 【典例 2-3】(2024·河北·模拟预测)点  1, 4A  到直线    : 2 1 1 4 0l x y        的最大距离是( ) A． 5 B．2 C． 3 D．不存在 【变式 2-1】(24-25 高二上·四川乐山·期末)点 (0, 1) 到直线 0x y    ( 为任意实数)距离的最大值为( ) A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 【变式 2-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)若动点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 分别在直线 1 5 1: 2 2 0x yl    与 2 5 1: 2 8 0x yl    上移动，则 AB的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A． 5 13 B． 2 C． 1 2 D． 13 【变式 2-3】(24-25 高二上·贵州贵阳·期末)已知点  0 0,x y 为直线 2 6 0x y   上任意一点，则    2 20 01 1x y   的最小值是( ) A． 5 5 B． 5 C． 7 5 5 D． 9 5 5 第 4 页 共 10 页 【变式 2-4】(24-25 高二上·广东阳江·阶段练习)直线 1 2 4 x y   与直线 42 3 y x  的交点到直线 2y x  的距离 为( ) A． 2 B．2 C． 1 2 D． 2 2 【变式 2-5】(多选)(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)对于直线 1 : 2 3 0l ax y a   ，  2 : 3 1 3 0l x a y a     ．以 下说法错误的有( ) A． 1 2l l// 的充要条件是 3a  B．当 2 5 a  时， 1 2l l C．直线 1l 一定经过点  3,0M D．点  1,3P 到直线 1l 的距离的最大值为 5 【变式 2-6】(多选)(23-24 高二上·云南昭通·阶段练习)已知点  1 ,1 3A t t  到直线 : 2 1l y x  的距离为 5 5 ， 则点A的坐标可以是( ) A．  0, 2 B．  2, 4 C．  0,2 D．  1,1 【变式 2-7】(多选)(24-25 高二上·福建福州·阶段练习)在平面直角坐标系中，记 d为点  1,0P 到直线 2 0mx y   的距离，当 m变化时， d的值可以为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型 03 两平行直线的距离 【典例 3-1】(2025·四川成都·模拟预测)已知直线 2 2 0x y m   与直线4 3 0x my   平行，则它们之间的距 离是( ) A． 11 5 5 B．11 5 10 C． 3 5 10 D． 9 5 5 【典例 3-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知两条平行直线 1 : 3 6 0l x y   与  2 : 3 0 0l x y C C    间 的距离为 4，则 C的值为( ) A． 14 B． 2 C． 10 D． 14 或 2 【典例 3-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)若某直线被两平行线 1 : 1 0l x y   与 2 : 3 0l x y   所截得的线段 的长为 2 2，则该直线的倾斜角大小为( ) A．15 B．15或75 C．30 D．30或150 【典例 3-4】(2025 高二·全国·专题练习)到直线 3 4 2 0x y   的距离为 1 的直线方程为( ) 第 5 页 共 10 页 A．3 4 3 0x y   B．3 4 7 0x y   C．3 4 3 0x y   或3 4 1 0x y   D．3 4 7 0x y   或3 4 3 0x y   【变式 3-1】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 1 : 4 3 5 0l x y   与直线 2 :8 6 15 0l x y   ，在 1l 上任取 一点A，在 2l 上任取一点 B，连接 AB，取 AB的靠近点 B的四等分点C，过点C作 1l 的平行线 3l ，则 1l 与 3l 之 间的距离为( ) A． 5 8 B． 15 8 C． 3 8 D． 1 8 【变式 3-2】(多选)(25-26 高二上·全国·单元测试)平行于直线 2x y   0，且与它距离为 2的直线方程可能 是( ) A． 0x y  B． 1 0x y   C． 1 0x y   D． 4 0x y   【变式 3-3】(多选)(24-25 高二下·广东深圳·阶段练习)以下四个命题表述正确的是( ) A．若直线倾斜角 π 2π, 4 3       ，则直线的斜率不存在或斜率 k的取值范围是   , 3 1,     B．直线    3 4 3 3 0m x y m m     R 恒过定点  3, 3  C．若直线  1 : 1 3l ax a y   与    2 : 1 2 3 2l a x a y    互相垂直，则 3a   D．若直线 1 : 2 3 0l x y   与 2 : 2 2 0l x ay   平行，则 1l 与 2l 的距离为 4 5 5 【变式 3-4】(多选)(24-25 高二上·浙江杭州·期末)下列结论正确的是( ) A．  1 : 2 1 2 3 0l x a y a     ， 22 : 3 4 0l ax y a    ，若 1 2l l// ，则 1a   或 3 2 a  B．  1, 1a   是直线 3 0x y   的一个方向向量 C．直线 1 0x y   与直线 2 2 1 0x y   之间的距离是 2 D．与点  1, 2A  的距离为 1，且与点  3, 1B  的距离为 4 的直线共有 3 条 【变式 3-5】(24-25 高二下·上海杨浦·期中)已知直线 1l ： 2 0x my   与直线 2l ： 2 0mx y   平行，其中 Rm ， 则直线 1l 与 2l 之间的距离等于 ． 题型 04 距离的应用 【典例 4-1】(2024 高三·全国·专题练习)若点  3,1P 到直线 : 3 4 0l x y a   ( 0a  )的距离为 3，则 a  ( ) A．3 B．2 C． 3 2 D．1 第 6 页 共 10 页 【典例 4-2】(24-25 高二上·广东深圳·期末)已知两点  3,2A 和  1,4B  到直线 3 0mx y   距离相等，则m值 为( ) A．0或 1 2  B． 1 2 或 6 C． 1 2  或 1 2 D．0或 1 2 【典例 4-3】(24-25 高二上·湖南·阶段练习)已知点  0 0,x y 为直线 2 6 0x y   上任意一点，则  2 20 01x y  的最小值是( ) A．2 B． 3 C． 6 D． 5 【典例 4-4】(24-25 高二上·吉林长春·期中)已知  ,m n 为直线 1 0x y   上的一点，则    2 22 2 2 1m n m n     的最小值为( ) A． 2 3 B． 10 C．4 D．3 【变式 4-1】(24-25 高三上·山东临沂·阶段练习)已知点  ,P x y 在直线 3 1 0x y   上的运动，则 2 2( 2)x y  的最小值是( ) A． 1 2 B． 2 2 C． 1 4 D． 3 4 【变式 4-2】(24-25 高二上·陕西安康·阶段练习)已知点  0,2M ，点  ,P x y 在直线 2 1 0x y   上，则 MP 的 最小值是( ) A． 5 5 B． 3 5 5 C． 4 5 5 D． 5 【变式 4-3】(24-25 高二上·湖南邵阳·期中)已知两点 (3,2)A 和 ( 1, 4)B  到直线 3 0mx y   的距离相等，则实 数m的值为( ) A． 6 或 12 B． 1 2  或1 C． 1 2  或 1 2 D．0或 1 2 【变式 4-4】(24-25高二上·四川宜宾·期中)已知直线 l经过定点 (0, 1)P  且与直线 2 0ax y   平行，若点  0,1A 和  4,5B 到直线 l的距离相等，则实数 a的值为( ) A． 1 B． 2 C． 1 或 2 D． 1 或 2 【变式 4-5】(24-25 高二上·湖北武汉·期中)已知直线 1 : 3 0l x y   与 2 : 3 1 0l x y   相交于点 M ，则点M 到直线 3 : 2 1 0l x y   的距离为( ) 第 7 页 共 10 页 A． 5 5 B． 2 5 5 C． 5 D． 2 5 【变式 4-6】(24-25 高二上·四川南充·期中)∆ABC中  1,3A ，  3,1B ，  1, 1C   ，则∆ABC的面积( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【变式 4-7】(24-25 高二上·贵州黔东南·期中)已知点    2,1 , 1,0 ,P Q H 在直线 1 0x y   上，则 HP HQ 的 最小值为( ) A． 2 3 B． 11 C．3 D． 10 【变式 4-8】(24-25 高二上·山东临沂·期中)若 ( 2, 1)A   ， (1,1)B 两点到直线 : 1 0l ax y   的距离相等，则 a  ( ) A． 2 3 B． 2 3  C．2 或 2 3 D．2 或 2 3  1.(2025·山东·模拟预测)已知四边形 ABCD的顶点 , , ,A B C D的坐标分别为        1, 1 , 3,1 , 0,4 , 2,2  则四边 形 ABCD的面积为( ) A．24 B．12 2 C．12 D．6 2.(24-25 高一上·四川·期中)已知直线 1 : 2 3 0l ax y a   和直线  2 : 3 1 3 0l x a y a     ，则下列说法错误的 是( ) A．若直线 2l 的斜率为 1，则 2l 与坐标轴围成的三角形面积为 25 18 B．直线 1l 的斜率一定存在 C．若 1 2/ /l l ，则 3a  或 2a   D．点  0,0O 到直线 1l 的距离的最大值为 2 3.(24-25 高二上·四川绵阳·阶段练习)若点  ,m n 在直线 l：3 4 13 0x y   上，则  2 21m n  的最小值为( ) A．2 B．4 C．5 D．3 4.(24-25 高二上·广东广州·阶段练习)已知点 ( , )P x y 在直线 1 0x y   上的运动，则 2 2( 2) ( 2)x y   的最小值 是( ) 第 8 页 共 10 页 A． 12 B． 2 2 C． 1 4 D． 3 4 5.(24-25 高二上·上海·期中)已知点 P(�, b)在直线 x − y = 0 上，则 �2 + �2 − 2� + 2� + 2 + (� − 2)2 + �2 的最小值为( ) A． 5 B． 10 C． 2 5 D． 2 10 6.(24-25 高二上·山西·期中)已知点  1,2A ，直线 l：      2 1 2 7 0x y         R ，则 A到 l的距离 的最大值为( ) A．3 B． 10 C．3 2 D．5 7.(24-25 高二上·海南·期中)点  1, 1P  到直线 : 1 0l mx m y    的距离的最大值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 8.(24-25 高二上·江苏·期中)已知 :3 4 6 0l x y   ， ( , )P m n 为 l上一动点，则 2 2( 1)m n  的最小值为( ) A． 3 5 B． 6 5 C． 9 25 D． 36 25 9.(24-25 高二上·云南玉溪·阶段练习)对于直线 1 : 2 3 0l ax y a   ，  2 : 3 1 3 0l x a y a     .以下说法正确的 有( ) A． 1 2//l l 的充要条件是 3a  B． 1 2l l 的充要条件是 2 5 a  C．直线 2l 一定经过点  1,1M  D．点  1,3P 到直线 1l 的距离的最大值为5 10.(24-25 高二上·江苏常州·期中)已知直线    : 2 1 1 2 4 0l m x m y m      ，则下列结论正确的是( ) A．直线 l过定点  2, 2 B．原点 O到直线 l距离的最大值为 2 2 C．若点  1,0A  ，  10B , 到直线 l的距离相等，则 2m   D．若直线 l不经过第四象限，则 12 2 m    ． 11.(24-25 高二上·四川眉山·阶段练习)已知直线 : 2 3 0l x y   ，点 (0, 2)R ， (1,1)P ， (1 , )Q m m ，m R ，下 列说法正确的是( ) 第 9 页 共 10 页 A．点 P到直线 l的距离为 4 5 5 B．若 P与 Q点位于直线 l的两侧则 5 3 m  C．点 P与点 Q之间距离的最小值为 2 D． QR QP 的最小值为 2 12.(25-26 高二上·全国·课前预习)已知 (0,1), (2,3)A B ，则 AB ，AB的中点坐标为 . 13.(25-26 高二上·全国·期中)若两条平行直线 1l ： 2 0x y m   与 2l ： 2 6 0x ny   之间的距离是 2 5，则直 线 1l 在 x轴上的截距为 ． 14.(2025·上海奉贤·二模)直线3 4 5 0x y   上的动点 P和直线3 4 10 0x y   上的动点Q，则点 P与点Q之间 距离的最小值是 ． 15．(24-25 高二上·江苏常州·期中)已知△ ABC的三个顶点为  2,1A  ，  1, 4B ，  0, 1C  . (1)求证：△ ABC为直角三角形；(2)求 BC边上的中线长及中线所在的直线方程. 16．(23-24 高二上·广西玉林·阶段练习)已知∆ABC三个顶点坐标分别为  1,1A ，  2,3B ，  4,2C . (1)试判断∆ABC的形状；(2)求∆ABC边 AC上的中线所在直线的方程. 第 10 页 共 10 页 17(2023 高二上·全国·专题练习)已知∆ABC的三个顶点的坐标是 ( 3,1)A  ， (3, 3)B  ， (1,7)C . (1)判断∆ABC的形状；(2)求∆ABC的面积. 18．(23-24 高二上·全国·课后作业)已知∆ABC的三个顶点分别为  3,1A  ，  3, 3B  ，  1,7C ． (1)求 BC边上的中线 AM 的长；(2)证明：∆ABC为等腰直角三角形． 19．(22-23 高二上·辽宁大连·阶段练习)如图，直线 l过点  3,2 ，与 x轴､ y轴的正半轴分别交于 A， B两点， AOB△ 的面积为12 .点 P为线段 AB上一动点，且 //PQ OB交OA于点Q . (1)求直线 AB斜率的大小；(2)在 y轴上是否存在点M ，使 MPQ△ 为等腰直角三角形？若存在，求出点M 的 坐标；若不存在，说明理由. 专题2.4 点与直线的距离 教学目标 1、理解并掌握两点之间的距离、点到直线的距离、两平行直线的距离公式； 2、掌握几种距离公式的应用； 教学重难点 1、重点：三个距离公式； 2、难点：点到直线的距离、两平行直线的距离. 知识点01 两点之间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝. 特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. 【即学即练1】(24-25高一下·北京延庆·期中)已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 【答案】；【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量坐标的线性运算解决几何问题、求平面两点间的距离 【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段的长度，结合向量即可求得点的坐标. 【详解】由题意，在平行四边形中，,,， 所以，， 所以，即，故答案为：；. 知识点02 点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离. 特例：若直线为l：x=m，则点到l的距离； 若直线为l：y=n，则点到l的距离 【即学即练2】(24-25高二上·新疆喀什·期末)点到直线的距离为(    ) A． B．2 C． D．1 【答案】D【难度】0.94【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为.故选：D. 知识点03 两平行直线的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离. 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 【即学即练3】(24-25高二下·浙江·期中)若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离，故选：D. 题型01 两点之间的距离 【典例1-1】(23-24高二下·全国·课后作业)已知，且，则a的取值可能为(   ) A． B． C． D． 【答案】CD【难度】0.85【知识点】由距离求点的坐标 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得；故选：CD 【典例1-2】(24-25高三上·上海·阶段练习)在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素.又点到原点的距离，则这样的点的个数为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】几何计数问题、由距离求点的坐标 【分析】根据已知有，结合的取值判断满足条件的点，即可得答案. 【详解】由题设，又都是集合中的元素，且， 所以，满足要求的点有、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、， 所以这样的点有20个.故答案为：20 【典例1-3】(23-24高一下·贵州遵义·期末)已知，，，则三角形的面积为(    ) A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A【难度】0.85【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ，故选：A. 【变式1-1】(23-24高二上·新疆喀什·期末)已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或【难度】0.85【知识点】由距离求点的坐标 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或.故答案为：或 【变式1-2】(25-26高二上·全国·单元测试)在数轴上，已知的中点为，则(    ) A． B．1 C．2 D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】求平面两点间的距离 【分析】方法一先计算，结合中点再计算；方法二先计算的中点的坐标，再计算； 【详解】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以．故选：C. 【变式1-3】(24-25高一下·四川成都·期中)的三个顶点的坐标分别为，，，则(   ) A．角为直角 B．角为锐角 C．角为钝角 D．角为钝角 【答案】C【难度】0.65【知识点】余弦定理解三角形、求平面两点间的距离 【分析】由两点间距离公式及余弦定理即可判断. 【详解】由三点坐标易得：， 所以，又为三角形内角，所以角为钝角， 所以ABD错，C对，故选：C 【变式1-4】(24-25高一下·浙江杭州·期中)在直角坐标系中，，则以下判断正确的是(   ) A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直、求平面两点间的距离 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，，，C正确； 对于D，，，D正确.故选：ACD 【变式1-5】(25-26高二上·全国·单元测试)著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】B【难度】0.85【知识点】求平面两点间的距离 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则(当且仅当三点共线时取等号)， 所以的最大值为．故选：B. 题型02 点到直线的距离 【典例2-1】(2025·广东深圳·模拟预测)点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为(     ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得，解得． 则点到直线：的距离为．故选：C． 【典例2-2】(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线斜率的定义、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为.故选：C 【典例2-3】(2024·河北·模拟预测)点到直线的最大距离是(    ) A． B．2 C． D．不存在 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值，故选：D 【变式2-1】(24-25高二上·四川乐山·期末)点到直线(为任意实数)距离的最大值为(   ) A． B．1 C． D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为，， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以，所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 【变式2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——直线 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即，即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离．故选：A. 【变式2-3】(24-25高二上·贵州贵阳·期末)已知点为直线上任意一点，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离；故选：C 【变式2-4】(24-25高二上·广东阳江·阶段练习)直线与直线的交点到直线的距离为(    ) A． B．2 C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】联立方程得出交点，再应用点到直线距离公式计算即可. 【详解】联立得交点为，所以距离.故选：A. 【变式2-5】(多选)(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)对于直线，．以下说法错误的有(    ) A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】AC【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求点到直线的距离、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为，，所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，故C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时， 到直线的距离最大，最大值为，故D正确，故选：AC. 【变式2-6】(多选)(23-24高二上·云南昭通·阶段练习)已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.65【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或.故选：AB． 【变式2-7】(多选)(24-25高二上·福建福州·阶段练习)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当m变化时，的值可以为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB【难度】0.65【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离 【分析】求出直线所过定点，即可求得的范围. 【详解】直线过定点，所以， 即，而A，B在范围内，故A，B正确.故选：AB． 题型03 两平行直线的距离 【典例3-1】(2025·四川成都·模拟预测)已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为.故选：B. 【典例3-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为(    ) A． B． C． D．或 【答案】B【难度】0.85【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 【典例3-3】(25-26高二上·全国·单元测试)若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为(　　) A． B．或 C． D．或 【答案】B【难度】0.65【知识点】直线的倾斜角、求平行线间的距离 【分析】求出平行线间距离，从而求得直线与两平行线间的夹角后可得结论． 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离． 设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为， 所以，解得． 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或．故选：B． 【典例3-4】(2025高二·全国·专题练习)到直线的距离为1的直线方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】D【难度】0.85【知识点】求平行线间的距离 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或．故选：D． 【变式3-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离 【分析】方法1，由题可得与平行，则与之间的距离为与之间距离的，据此可得答案；方法2，注意到A，B 的选取对直线方程无影响，为此取，可得方程，据此可得答案. 【详解】方法1，直线的方程可化为，又，故直线与平行． 如图，过A作于点，交直线于点，则为所求直线与的距离． 因为，，所以．    方法2，由方法1，直线与平行，则A，B 的选取对直线方程无影响， 不妨设，因为为AB上靠近点的四等分点，则， 设，则. 设直线的方程为，将点的坐标代入，得， 则，故直线与之间的距离．故选：B 【变式3-2】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD【难度】0.85【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】设与直线平行的直线方程为，然后由平行直线距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，由两平行直线间的距离公式可得，解得或，故所求直线方程为或．故选：AD 【变式3-3】(多选)(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)以下四个命题表述正确的是(   ) A．若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B．直线恒过定点 C．若直线与互相垂直，则 D．若直线与平行，则与的距离为 【答案】AD【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知直线垂直求参数、求平行线间的距离、直线过定点问题 【分析】对于A由即可求解，对于B将直线整理为即可求解，对于C由得即可求解，对于D先求，再利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】对于A：当时，直线的斜率不存在， 当时，由斜率，，故A正确； 对于B：由直线得， 令有解得，即定点为，故B错误； 对于C：直线与互相垂直， 则解得或，故C错误； 对于D：由有，所以与的距离为，故D正确；故选：AD. 【变式3-4】(多选)(24-25高二上·浙江杭州·期末)下列结论正确的是(   ) A．，，若，则或 B．是直线的一个方向向量 C．直线与直线之间的距离是 D．与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条 【答案】BD【难度】0.65【知识点】直线方向向量的概念及辨析(空间中)、求平行线间的距离、已知直线平行求参数、圆的公切线条数 【分析】由直线平行的判定求参数判断A；写出直线斜率，结合斜率与方向向量关系确定一个方向向量判断B；将化为，应用平行线的距离公式判断C；两点公式求，转化为判断两个外切的圆的公切线的条数判断D. 【详解】A：若，显然，则，可得，故A错误； B：的斜率为，显然是直线的一个方向向量，故B正确； C：由即，与的距离为，故C错误； D：由，以为圆心，半径分别为的两个圆外切， 所以，只需判断两圆公切线的条数即可，显然一共有3条，故D正确.故选：BD 【变式3-5】(24-25高二下·上海杨浦·期中)已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离.故答案为：. 题型04 距离的应用 【典例4-1】(24-25高二上·山东青岛·期中)数学家欧拉(Euler)1765年在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若顶点, ，则欧拉线方程为 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】由距离求点的坐标、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后由点斜式即可求得欧拉线的方程. 【详解】因的顶点，则其重心为,即； 显然的外心在线段的中垂线上，故可设， 由，可得，解得, 则外心坐标为，于是, 故欧拉线方程为：，即.故答案为：. 【典例4-2】(2024高三·全国·专题练习)若点到直线()的距离为3，则(   ) A．3 B．2 C． D．1 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】利用点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为点到直线()的距离为3， 所以，结合可得，故选：B. 【典例4-3】(24-25高二上·广东深圳·期末)已知两点和到直线距离相等，则值为(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B【难度】0.94【知识点】求到两点距离相等的直线方程 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或．故选：B． 【典例4-4】(24-25高二上·湖南·阶段练习)已知点为直线上任意一点，则的最小值是(    ) A．2 B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上，故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是.故选：D. 【典例4-5】(24-25高二上·吉林长春·期中)已知为直线上的一点，则的最小值为(    ) A． B． C．4 D．3 【答案】D【难度】0.65【知识点】坐标法的应用——点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为．故选：D. 【变式4-1】(24-25高三上·山东临沂·阶段练习)已知点在直线上的运动，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案. 【详解】表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为．故选：C 【变式4-2】(24-25高二上·陕西安康·阶段练习)已知点，点在直线上，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】求点到直线的距离 【分析】的最小即点到直线的距离，代入公式即可. 【详解】由题意，的最小值是点到直线的距离， 即.故选：A. 【变式4-3】(24-25高二上·湖南邵阳·期中)已知两点和到直线的距离相等，则实数的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由两点到直线距离相等可得直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求可得结论． 【详解】依题意得，直线过线段的中点，或与直线平行. 线段的中点坐标为，且在直线上，，解得； 由两直线平行知，解得.因此的值为或，故选：A 【变式4-4】(24-25高二上·四川宜宾·期中)已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知直线平行求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或.故选：C 【变式4-5】(24-25高二上·湖北武汉·期中)已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【详解】由得，即， 所以点到直线 的距离为，故选：A． 【变式4-6】(24-25高二上·四川南充·期中)中，，，则的面积(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】求直线的方程和，以及点到直线的距离，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 可知直线，即， 可得点到直线的距离， 所以的面积.故选：C. 【变式4-7】(24-25高二上·贵州黔东南·期中)已知点在直线上，则的最小值为(    ) A． B． C．3 D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】由点关于直线的对称点方法求出，再有三点共线求出最小值即可； 【详解】如图，设关于直线对称的点为，则 解得，则， 所以.故选：D.    【变式4-8】(24-25高二上·山东临沂·期中)若，两点到直线的距离相等，则(    ) A． B． C．2或 D．2或 【答案】C【难度】0.94【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 得，解得或，即实数的值为或.故选：C 一、单选题 1.(2025·山东·模拟预测)已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为(    ) A．24 B． C．12 D．6 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】由条件可得到为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案. 【详解】由点坐标，可得到，同理可得到； ，所以四边形为平行四边形； 由，，可得到直线方程为， 点到直线的距离， 又，.故选：C 2.(24-25高一上·四川·期中)已知直线和直线，则下列说法错误的是(    ) A．若直线的斜率为1，则与坐标轴围成的三角形面积为 B．直线的斜率一定存在 C．若，则或 D．点到直线的距离的最大值为2 【答案】D【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、已知直线平行求参数、求点到直线的距离、直线的斜截式方程及辨析 【分析】由直线的斜截式建立关于的方程，求出即可判断A；求出直线的斜率为即可判断B；根据两直线的位置关系求出，验证即可判断C；根据点到直线的距离公式化简计算即可判断D. 【详解】A：直线的斜率为1，不合题意，不等于1时，易知，则， 解得，此时，与坐标轴的交点分别为， 所以直线与坐标轴所围成的三角形面积为，故A正确； B：由，得，所以直线的斜率为，必定存在，故B正确； C：若，则，解得或. 当时，，此时； 当时，，此时，故C正确； D：点到直线的距离为， 当时，；当时，， 所以点到直线的距离的最大值不存在，故D错误.故选：D 3.(24-25高二上·四川绵阳·阶段练习)若点在直线：上，则的最小值为(    ) A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据表达式特征求出点到直线的距离即可. 【详解】易知代表点与点之间的距离， 因此当两点连线与直线垂直时，取得最小值， 其最小值为点到直线的距离.故选：A 4.(24-25高二上·广东广州·阶段练习)已知点在直线上的运动，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】可表示为点到的距离的平方， 由点在直线上的运动， 则的最小值为点到直线的距离的平方， .故选：A. 5.(24-25高二上·上海·期中)已知点在直线上，则的最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：.故选：B 6.(24-25高二上·山西·期中)已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为(    ) A．3 B． C． D．5 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可. 【详解】将直线l的方程变形为，由， 得，所以直线l过定点， 当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.故选：D. 7.(24-25高二上·海南·期中)点到直线的距离的最大值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】利用直线过定点以及两点间距离公式计算可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 当点与定点连线垂直于直线时，满足题意； 此时距离的最大值为.故选：A 8.(24-25高二上·江苏·期中)已知，为上一动点，则的最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离 【分析】的最小值即为与的距离的平方的最小值，然后求点到直线的距离即可求解. 【详解】由于， 所以的最小值即为与的距离的平方的最小值， 则点到直线上的最小值即为点到直线的距离， 故，所以的最小值为.故选：C. 二、多选题 9.(24-25高二上·云南玉溪·阶段练习)对于直线，.以下说法正确的有(   ) A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、探求命题为真的充要条件、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】利用两直线平行求出的值，可判断A选项；利用两直线垂直求出实数的值，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，点到直线的距离最大，结两点间的距离公式可判断D选项. 【详解】因为直线，， 对于A选项，若，则，解得或， 所以，的充要条件是或，A错； 对于B选项，若，则，解得，B对； 对于C选项，直线的方程可化为， 由，解得，即直线过定点，C错； 对于D选项，直线的方程可化为，由可得，即直线过定点， 因为直线的斜率为，当时，则直线的斜率为，即， 此时，点到直线的距离的最大值为，D对.故选：BD. 10.(24-25高二上·江苏常州·期中)已知直线，则下列结论正确的是(    ) A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】直线图象的辨析、求平面两点间的距离、直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】A选项，变形后，得到方程组，求出定点坐标；B选项，直线l过定点，故最大值为；C选项，由点到直线距离公式得到方程，求出或-2；D选项，数形结合得到时满足要求，从而得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，， 令，解得，故直线l过定点，A正确； B选项，由A选项知，直线l过定点， 故原点O到直线l距离的最大值为，B正确； C选项，点，到直线l的距离相等， 故，故，解得或-2，C错误； D选项，直线不经过第四象限， 当时，满足要求，此时斜率为0， 当经过原点时，，解得， 此时，斜率为1，数形结合得到，当时，满足要求， 即，解得，D正确.故选：ABD 11.(24-25高二上·四川眉山·阶段练习)已知直线，点，，，，下列说法正确的是(    ) A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】由点到线的距离即可求得A选项结果；将两个点坐标代入直线方程得到的值符号不同则这两个点在直线的两侧即可求得参数的范围判断B选项；由点到点的距离公式写出距离表达式，由配方法求得最小值判断C选项；找到动点所在直线，由“将军饮马”模型求得线段和最小值判断D选项. 【详解】点P到直线的距离，A选项正确； ∵将点代入直线方程得，要想P与Q点位于直线的两侧，则将代入直线方程得，即，B选项正确； ，C选项错误； ∵，∴点在直线上，斜率，过点作直线于点， 则，联立方程组解得，即， ∴点关于直线的对称点，连接与的交点为， 此时最小，的最小值：，D选项正确.故选：ABD. 三、填空题 12.(25-26高二上·全国·课前预习)已知，则 ，AB的中点坐标为 . 【答案】;【难度】0.85【知识点】求空间两点的中点坐标、求平面两点间的距离 【分析】由两点之间距离公式及中点坐标公式得到答案. 【详解】因为，所以， 中点坐标即，故答案为：；. 13.(25-26高二上·全国·期中)若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 14.(2025·上海奉贤·二模)直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：.故答案为： 四、解答题 15．(24-25高二上·江苏常州·期中)已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形；(2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明过程见详解(2) 【难度】0.85【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)根据两点间距离公式求,,长度，可得，即证△为直角三角形； (2)边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】(1)由已知条件得， ,, 则,所以△为直角三角形； (2)设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 16．(23-24高二上·广西玉林·阶段练习)已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状；(2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形(2) 【难度】0.85【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离、直线的点斜式方程及辨析、由斜率判断两条直线垂直 【分析】(1)根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； (2)求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】(1)因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； (2)易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 17(2023高二上·全国·专题练习)已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状；(2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形(2)26【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离 【分析】(1)由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形；(2)由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】(1)因为，，， 所以，， ，所以， 所以是等腰直角三角形. (2)由(1)得. 18．(23-24高二上·全国·课后作业)已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长；(2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1)(2)答案及解析【难度】0.85 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离 【分析】(1)首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； (2)利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】(1)因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． (2)因为，， ， 因为，且，所以为等腰直角三角形． 19．(22-23高二上·辽宁大连·阶段练习)如图，直线过点，与轴､轴的正半轴分别交于，两点，的面积为.点为线段上一动点，且交于点. (1)求直线斜率的大小；(2)在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)存在，或或【难度】0.65 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)根据直线过点，利用点斜式设直线方程，根据直线在坐标轴上的截距可得三角形的两个直角边，进而可得面积，求解斜率； (2)分情况讨论直角顶点的情况，结合等腰直角三角形的性质求解. 【详解】(1)由已知直线斜率存在且，直线过点， 设直线方程为，即， 令，则，所以，， 令，，所以，， ，解得； (2)存在，由(1)得直线为， 所以设点，，， 又点在轴上，且为等腰直角三角形， 当时，， 则，，， 解得，即； 当时，， 则，，， 解得，此时，成立， 当时，， 此时，， 解得，即， 综上所述，在轴上是存在点，使为等腰直角三角形，的坐标为或或. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 点与直线的距离 教学目标 1、理解并掌握两点之间的距离、点到直线的距离、两平行直线的距离公式； 2、掌握几种距离公式的应用； 教学重难点 1、重点：三个距离公式； 2、难点：点到直线的距离、两平行直线的距离. 知识点01 两点之间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝. 特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. 【即学即练1】(24-25高一下·北京延庆·期中)已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 知识点02 点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离. 特例：若直线为l：x=m，则点到l的距离； 若直线为l：y=n，则点到l的距离 【即学即练2】(24-25高二上·新疆喀什·期末)点到直线的距离为(    ) A． B．2 C． D．1 知识点03 两平行直线的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离. 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 【即学即练3】(24-25高二下·浙江·期中)若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为(   ) A． B． C． D． 题型01 两点之间的距离 【典例1-1】(23-24高二下·全国·课后作业)已知，且，则a的取值可能为(   ) A． B． C． D． 【典例1-2】(24-25高三上·上海·阶段练习)在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素.又点到原点的距离，则这样的点的个数为 . 【典例1-3】(23-24高一下·贵州遵义·期末)已知，，，则三角形的面积为(    ) A．3 B．5 C．7 D．8 【变式1-1】(23-24高二上·新疆喀什·期末)已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【变式1-2】(25-26高二上·全国·单元测试)在数轴上，已知的中点为，则(    ) A． B．1 C．2 D． 【变式1-3】(24-25高一下·四川成都·期中)的三个顶点的坐标分别为，，，则(   ) A．角为直角 B．角为锐角 C．角为钝角 D．角为钝角 【变式1-4】(24-25高一下·浙江杭州·期中)在直角坐标系中，，则以下判断正确的是(   ) A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【变式1-5】(25-26高二上·全国·单元测试)著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为(    ) A．1 B． C． D．2 题型02 点到直线的距离 【典例2-1】(2025·广东深圳·模拟预测)点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为(     ) A． B． C． D． 【典例2-2】(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为(    ) A． B． C． D． 【典例2-3】(2024·河北·模拟预测)点到直线的最大距离是(    ) A． B．2 C． D．不存在 【变式2-1】(24-25高二上·四川乐山·期末)点到直线(为任意实数)距离的最大值为(   ) A． B．1 C． D．2 【变式2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25高二上·贵州贵阳·期末)已知点为直线上任意一点，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(24-25高二上·广东阳江·阶段练习)直线与直线的交点到直线的距离为(    ) A． B．2 C． D． 【变式2-5】(多选)(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)对于直线，．以下说法错误的有(    ) A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【变式2-6】(多选)(23-24高二上·云南昭通·阶段练习)已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是(   ) A． B． C． D． 【变式2-7】(多选)(24-25高二上·福建福州·阶段练习)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当m变化时，的值可以为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型03 两平行直线的距离 【典例3-1】(2025·四川成都·模拟预测)已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为(    ) A． B． C． D．或 【典例3-3】(25-26高二上·全国·单元测试)若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为(　　) A． B．或 C． D．或 【典例3-4】(2025高二·全国·专题练习)到直线的距离为1的直线方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【变式3-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】(多选)(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)以下四个命题表述正确的是(   ) A．若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B．直线恒过定点 C．若直线与互相垂直，则 D．若直线与平行，则与的距离为 【变式3-4】(多选)(24-25高二上·浙江杭州·期末)下列结论正确的是(   ) A．，，若，则或 B．是直线的一个方向向量 C．直线与直线之间的距离是 D．与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条 【变式3-5】(24-25高二下·上海杨浦·期中)已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 题型04 距离的应用 【典例4-1】(24-25高二上·山东青岛·期中)数学家欧拉(Euler)1765年在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若顶点, ，则欧拉线方程为 ． 【典例4-2】(2024高三·全国·专题练习)若点到直线()的距离为3，则(   ) A．3 B．2 C． D．1 【典例4-3】(24-25高二上·广东深圳·期末)已知两点和到直线距离相等，则值为(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【典例4-4】(24-25高二上·湖南·阶段练习)已知点为直线上任意一点，则的最小值是(    ) A．2 B． C． D． 【典例4-5】(24-25高二上·吉林长春·期中)已知为直线上的一点，则的最小值为(    ) A． B． C．4 D．3 【变式4-1】(24-25高三上·山东临沂·阶段练习)已知点在直线上的运动，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25高二上·陕西安康·阶段练习)已知点，点在直线上，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】(24-25高二上·湖南邵阳·期中)已知两点和到直线的距离相等，则实数的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-4】(24-25高二上·四川宜宾·期中)已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为(    ) A． B． C．或 D．或 【变式4-5】(24-25高二上·湖北武汉·期中)已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为(    ) A． B． C． D． 【变式4-6】(24-25高二上·四川南充·期中)中，，，则的面积(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-7】(24-25高二上·贵州黔东南·期中)已知点在直线上，则的最小值为(    ) A． B． C．3 D． 【变式4-8】(24-25高二上·山东临沂·期中)若，两点到直线的距离相等，则(    ) A． B． C．2或 D．2或 一、单选题 1.(2025·山东·模拟预测)已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为(    ) A．24 B． C．12 D．6 2.(24-25高一上·四川·期中)已知直线和直线，则下列说法错误的是(    ) A．若直线的斜率为1，则与坐标轴围成的三角形面积为 B．直线的斜率一定存在 C．若，则或 D．点到直线的距离的最大值为2 3.(24-25高二上·四川绵阳·阶段练习)若点在直线：上，则的最小值为(    ) A．2 B．4 C．5 D．3 4.(24-25高二上·广东广州·阶段练习)已知点在直线上的运动，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 5.(24-25高二上·上海·期中)已知点在直线上，则的最小值为(   ) A． B． C． D． 6.(24-25高二上·山西·期中)已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为(    ) A．3 B． C． D．5 7.(24-25高二上·海南·期中)点到直线的距离的最大值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 8.(24-25高二上·江苏·期中)已知，为上一动点，则的最小值为(   ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(24-25高二上·云南玉溪·阶段练习)对于直线，.以下说法正确的有(   ) A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为 10.(24-25高二上·江苏常州·期中)已知直线，则下列结论正确的是(    ) A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 11.(24-25高二上·四川眉山·阶段练习)已知直线，点，，，，下列说法正确的是(    ) A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 三、填空题 12.(25-26高二上·全国·课前预习)已知，则 ，AB的中点坐标为 . 13.(25-26高二上·全国·期中)若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 14.(2025·上海奉贤·二模)直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 四、解答题 15．(24-25高二上·江苏常州·期中)已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形；(2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 16．(23-24高二上·广西玉林·阶段练习)已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状；(2)求边上的中线所在直线的方程. 17(2023高二上·全国·专题练习)已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状；(2)求的面积. 18．(23-24高二上·全国·课后作业)已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长；(2)证明：为等腰直角三角形． 19．(22-23高二上·辽宁大连·阶段练习)如图，直线过点，与轴､轴的正半轴分别交于，两点，的面积为.点为线段上一动点，且交于点. (1)求直线斜率的大小；(2)在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 25 页 专题 2.4 点与直线的距离 教学目标 1、理解并掌握两点之间的距离、点到直线的距离、两平行直线的距离公式； 2、掌握几种距离公式的应用； 教学重难点 1、重点：三个距离公式； 2、难点：点到直线的距离、两平行直线的距离. 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. 特例：点 P(x，y)到原点 O(0,0)的距离|OP|＝ x2＋y2. 【即学即练 1】(24-25 高一下·北京延庆·期中)已知平行四边形 ABCD的三个顶点  2,1A  ，  2,2B ，  4,5C ， 而且A， B，C，D按逆时针方向排列，则线段 AD的长度为 ，D点的坐标为 ． 【答案】 13；  0,4 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量坐标的线性运算解决几何问题、求平面两点间的距离 【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段 AD的长度，结合向量即可求得D点的坐标. 【详解】由题意，在平行四边形 ABCD中，  2,1A  ,  2,2B ,  4,5C ， 所以 2 2(4 2) (5 2) 13AD BC      ，  4, 1CD BA      ， 所以      4,5 4, 1 0,4OD OC CD          ，即  0,4D ，故答案为： 13；  0,4 . 点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d = Ax0+By0+C A2+B2 . 特例：若直线为 l：x=m，则点 0 0 0( , )P x y 到 l的距离 0| | d m x ； 若直线为 l：y=n，则点 0 0 0( , )P x y 到 l的距离 0| | d n y 第 2 页 共 25 页 【即学即练 2】(24-25 高二上·新疆喀什·期末)点  1,2M  到直线3 4 6 0x y   的距离为( ) A． 2 B．2 C． 1 D．1 【答案】D【难度】0.94【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点  1,2M  到直线3 4 6 0x y   的距离为    22 3 1 4 2 6 1 3 4 d          .故选：D. l1：Ax＋By＋C1＝0与 l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d = C1−C2 A2+B2 . 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 【即学即练 3】(24-25 高二下·浙江·期中)若直线 1 : 2 1 0l x y   与直线  2 : 2 0 Rl kx y k    平行，那么这 两条直线之间的距离为( ) A． 3 5 B． 1 5 C． 3 5 5 D． 5 5 【答案】D【难度】0.94【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行可得参数 k，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线 1 : 2 1 0l x y   与直线  2 : 2 0 Rl kx y k    平行， 则  2 1 1 0k     ，即 2k   ， 此时直线 1 : 2 1 0l x y   与直线 2 0: 2 2l x y   ，即 2 : 2 2 0l x y   满足平行， 则两直线间距离  22 2 1 5 52 1 d      ，故选：D. 【即学即练 4】(24-25 高二上·山东青岛·期中)数学家欧拉(Euler)1765 年在《三角形的几何学》一书中提出： 任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若∆ABC顶点 A( − 2,0), B(0,4), C(4,0)，则欧拉线方程为 ． 【答案】 2 0x y   【难度】0.85 【知识点】由距离求点的坐标、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出∆ABC的重心，再结合对称性求出∆ABC的外心，然 后由点斜式即可求得欧拉线的方程. 【详解】因∆ABC的顶点      2,0 , 0,4 , 4,0A B C ，则其重心为 2 0 4 0 4 0( , ) 3 3 G      ,即 2 4( , ) 3 3 G ； 显然∆ABC的外心M 在线段 AC的中垂线 1x  上，故可设 (1, )M b ， 由 | | | |MA MB ，可得 2 2 2( 2 1) 1 ( 4)b b      ，解得 1b  , 第 3 页 共 25 页 则外心坐标为 (1,1)M ，于是 4 1 3 12 1 3 MGk      , 故欧拉线方程为： 1 ( 1)y x    ，即 2 0x y   .故答案为： 2 0x y   . 题型 01 两点之间的距离 【典例 1-1】(23-24 高二下·全国·课后作业)已知 ( ,0), (0,10)A a B ，且 | | 17AB  ，则 a的取值可能为( ) A．7 B． 7 C．3 21 D． 3 21 【答案】CD【难度】0.85【知识点】由距离求点的坐标 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为 ( ,0), (0,10)A a B 且 | | 17AB  ，所以  22| | 0 10 17AB a    ， 解得 3 21a   ；故选：CD 【典例 1-2】(24-25 高三上·上海·阶段练习)在平面直角坐标系内，点  ,P a b 的坐标满足 a b ，且 ,a b都是集 合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又点 P到原点的距离 5OP  ，则这样的点 P的个数为 . 【答案】 20【难度】0.65【知识点】几何计数问题、由距离求点的坐标 【分析】根据已知有 2 2 25a b  ，结合 ,a b的取值判断满足条件的点 P，即可得答案. 【详解】由题设 2 2 2 25 25a b a b     ，又 ,a b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素，且 a b ， 所以，满足要求的点 ( , )P a b 有 (1,5)、(1,6)、(2,5)、(2,6)、(3, 4)、(3,5)、(3,6)、(4,3)、(4,5)、(4,6)、(5,1)、 (5, 2)、 (5,3)、 (5, 4)、 (5,6)、 (6,1)、 (6, 2)、 (6,3)、 (6, 4)、 (6,5)， 所以这样的点 P有 20 个.故答案为：20 【典例 1-3】(23-24 高一下·贵州遵义·期末)已知  1,2A ，  2,3B ，  2,5C  ，则三角形 ABC的面积为( ) A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A【难度】0.85【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】 2 2| | (2 1) (3 2) 2AB      ， 2 2| | ( 2 2) (5 3) 20 2 5BC        , 2 2| | ( 2 1) (5 2) 18 3 2AC        ， 2 2 2| | | |AC AB BC   ，所以三角形 ABC为直角三角形， 1 3 2 2 3 2 S     ，故选：A. 【变式 1-1】(23-24 高二上·新疆喀什·期末)已知点  3,3 3A a  与点  ,3B a 之间的距离为 5，则实数 a的值 为 ． 【答案】 1 或 8 5 【难度】0.85【知识点】由距离求点的坐标 第 4 页 共 25 页 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】    2 23 3 3 3 5AB a a      ， 化简为 25 3 8 0a a   ，解得： 1a   或 8 5 a  .故答案为： 1 或 8 5 【变式 1-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)在数轴上，已知    3 , 1 ,A B AB 的中点为C，则 BC  ( ) A． 12 B．1 C．2 D． 3 2 【答案】C【难度】0.94【知识点】求平面两点间的距离 【分析】方法一先计算 AB ，结合中点再计算 2BC  ；方法二先计算 AB的中点C的坐标，再计算 2BC  ； 【详解】方法一 由题意， 1 3 4AB     ，又C为 AB的中点，所以 2BC  ． 方法二 因为    3 , 1 ,A B C 为 AB的中点，所以点C的坐标为 3 1 1 2   ，所以  1 1 2BC     ．故选：C. 【变式 1-3】(24-25 高一下·四川成都·期中)∆ABC的三个顶点的坐标分别为  2,1A  ，  1,0B  ，  0,5C ，则( ) A．角A为直角 B．角A为锐角 C．角A为钝角 D．角 B为钝角 【答案】C【难度】0.65【知识点】余弦定理解三角形、求平面两点间的距离 【分析】由两点间距离公式及余弦定理即可判断. 【详解】由三点坐标易得： 1 1 2, 4 16 2 5, 1 25 26AB AC BC         ， 所以 2 20 26cos 0 2 2 2 5 A      ，又A为三角形内角，所以角A为钝角， 所以 ABD 错，C 对，故选：C 【变式 1-4】(24-25 高一下·浙江杭州·期中)在直角坐标系中， ( 1, 1), (1,3), )(3, 3 2,5), (M QN P   ，则以下判断 正确的是( ) A． MPQ 为直角三角形 B．M ， N， P，Q依次连起来是一个四边形 C． 2 13cos 13 MPQ  D． 5PQNS △ 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直、求平面两点间的距离 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于 A，直线MP的斜率 1 ( 3) 1 1 3 2MP k        ，直线MQ的斜率 1 5 2 1 2MQ k      ， 1MP MQk k   ，即MP MQ ， MPQ 为直角三角形，A 正确； 对于 B，直线MN的斜率 1 3 2 1 1MN k      ，点 , ,M N Q共线，B 错误； 对于 C，在Rt MPQ△ 中， 2 2| | 4 2 2 5MP    ， 2 2| | 1 8 65PQ    ， | | 2 13cos | | 13 MPMPQ PQ    ，C 正确； 对于 D， 2 2| | 1 2 5NQ    ， 1 | | | 5| 2PQN NQS MP  △ ，D正确.故选：ACD 第 5 页 共 25 页 【变式 1-5】(25-26 高二上·全国·单元测试)著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．” 事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 2 2( ) ( )x a y b   可以转化为平面上点  ,M x y 与点  ,N a b 的距离．结合上述观点，可得 2 22 5 1x x x    的最大值为( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 【答案】B【难度】0.85【知识点】求平面两点间的距离 【分析】将 2 22 5 1x x x    转化成  ,0P x 到点  1,2M 的距离与到点  0,1N 的距离之差，再结合 PM PN MN  和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， 2 2 2 2 2 22 5 1 ( 1) (0 2) ( 0) (0 1)x x x x x            ， 可转化成 x轴上一点  ,0P x 到点  1,2A 的距离与到点  0,1B 的距离之差， 则    2 21 0 2 1 2PA PB AB       (当且仅当 , ,M N P三点共线时取等号)， 所以 2 22 5 1x x x    的最大值为 2．故选：B. 题型 02 点到直线的距离 【典例 2-1】(2025·广东深圳·模拟预测)点  1,3P  关于直线 0x y  的对称点为Q，则点Q到直线 3 2 0x y   的距离为( ) A． 3 5 5 B．3 10 C． 3 10 5 D． 10 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】由对称关系求得Q，再由点到线距离公式求解； 【详解】设  1,3A  关于直线 0x y  的对称点为  ,Q a b ， 由对称关系可得 3 1 1 1 1 3 0 2 2 b a a b            ，解得 3 1 a b     ．  3, 1Q  则点  3, 1Q  到直线 l：3 2 0x y   的距离为 2 2 3 3 1 2 3 10 53 1 d       ．故选：C． 【典例 2-2】(24-25 高一下·浙江宁波·期末)已知直线 l过点  2,2P 且倾斜角为135，则点  2,0Q  到直线 l 的距离为( ) A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2 第 6 页 共 25 页 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线斜率的定义、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线 l的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线 l的斜率为 tan135 1  ，又过点  2,2P ， 所以其方程为  2 1 2y x    ，即 4 0x y   ， 可得点  2,0Q  到直线 l的距离为 2 0 4 3 2 1 1 d       .故选：C 【典例 2-3】(2024·河北·模拟预测)点  1, 4A  到直线    : 2 1 1 4 0l x y        的最大距离是( ) A． 5 B．2 C． 3 D．不存在 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】求出直线 l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线    : 2 1 1 4 0l x y        即    : 2 1 4 0l x y x y      ， 令 2 1 0 4 0 x y x y        ，解得 1 3 x y    ， 即直线    : 2 1 1 4 0l x y        过定点  1,3 ，设为 B， 当直线 AB与 l垂直时，点  1, 4A  到直线    : 2 1 1 4 0l x y        的距离最大， 即为    2 21 1 4 3 5     ， 此时 AB的斜率为 4 3 1 1 1 2      ，则 l的斜率为 2，故 2 1 2 1      ，方程无解， 即直线 l和 AB不可能垂直，则点  1, 4A  到直线 l的距离小于 5 ，不存在最大值，故选：D 【变式 2-1】(24-25 高二上·四川乐山·期末)点 (0, 1) 到直线 0x y    ( 为任意实数)距离的最大值为( ) A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离 【分析】法一：写出点 (0, 1) 到直线 0x y    的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解； 法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点 (0, 1) 到直线 0x y    的距离为 2 1 1| |d      ， 2 2 2 2 1 2 21 1 1 d             ， 令 2 2 1 m     ，当 0  时， 0m  ， 当 0  时， 2 1m     ，由对勾函数的性质可知 1 ( , 2] [2, )        ， 所以 [ 1,0) (0,1]m   ，所以 2 [0, 2]d  ，所以 max 2d  . 法二：易知直线 0x y    过定点  1,0 ，则点到直线的距离最大值为定点到  0, 1 的距离，即 2 . 故选：C. 第 7 页 共 25 页 【变式 2-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)若动点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 分别在直线 1 5 1: 2 2 0x yl    与 2 5 1: 2 8 0x yl    上移动，则 AB的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A． 5 13 B． 2 C． 1 2 D． 13 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——直线 【分析】根据动点 ,A B满足的关系式，结合中点公式可得中点M 满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设 AB的中点M 的坐标为  ,x y ，则有 1 2 1 2 2 2 x x x y y y      ， 又  1 1,A x y ，  2 2,B x y 分别在直线 1 5 1: 2 2 0x yl    与 2 5 1: 2 8 0x yl    上， ∴联立得 1 1 2 2 5 12 2 0 5 12 8 0 x y x y        ，两式相加得    1 2 1 25 12 10 0x x y y     ， ∴10 24 10 0x y   ，即5 12 5 0x y   ，即 AB的中点M 在直线5 12 5 0x y   上移动， ∴M 到原点距离的最小值即原点到直线5 12 5 0x y   的距离  22 5 5 135 12 d     ．故选：A. 【变式 2-3】(24-25 高二上·贵州贵阳·期末)已知点  0 0,x y 为直线 2 6 0x y   上任意一点，则    2 20 01 1x y   的最小值是( ) A． 5 5 B． 5 C． 7 5 5 D． 9 5 5 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】    2 20 01 1x y   表示点  0 0,x y 到点  1,1 的距离， 故    2 20 01 1x y   的最小值为点  1,1 到直线 2 6 0x y   的距离 2 2 1 2 6 7 5 51 2 d       ；故选：C 【变式 2-4】(24-25 高二上·广东阳江·阶段练习)直线 1 2 4 x y   与直线 42 3 y x  的交点到直线 2y x  的距离 为( ) A． 2 B．2 C． 1 2 D． 2 2 【答案】A【难度】0.85【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】联立方程得出交点 4 4, 3 3       ，再应用点到直线距离公式计算即可. 【详解】联立 2 4, 42 , 3 y x y x        得交点为 4 4, 3 3       ，所以距离 4 4 2 3 3 2 2 d     .故选：A. 【变式 2-5】(多选)(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)对于直线 1 : 2 3 0l ax y a   ，  2 : 3 1 3 0l x a y a     ．以 第 8 页 共 25 页 下说法错误的有( ) A． 1 2l l// 的充要条件是 3a  B．当 2 5 a  时， 1 2l l C．直线 1l 一定经过点  3,0M D．点  1,3P 到直线 1l 的距离的最大值为 5 【答案】AC【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求点到直线的距离、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】求出 1l ∥ 2l 的充要条件即可判断 A;验证 2 5 a  时，两直线斜率之积是否为-1，判断 B;求出直线 1l 经过 的定点即可判断 C;判断何种情况下点  1,3P 到直线 1l 的距离最大，并求出最大值，可判断 D. 【详解】当 1l ∥ 2l 时， ( 1) 6 0a a    解得 3a  或 2a   ， 当 2a   时，两直线为 53 0, 0 3 x y x y      ，符合题意； 当 3a  时，两直线为3 2 9 0,3 2 0x y x y     ，符合题意，故 A 错误； 当 2 5 a  时，两直线为 5 3 0,15 3 13 0x y x y      ， 1 2 1 5 1 5l l k k      ，所以 1 2l l ，故 B 正确； 直线 1 : 2 3 0l ax y a   即直线 ( 3) 2 0a x y   ，故直线过定点  3,0 ，故 C 错误； 因为直线 1 : 2 3 0l ax y a   过定点  3,0 ，当直线 1 : 2 3 0l ax y a   与点  1,3P 和  3,0 的连线垂直时，  1,3P 到直线 1l 的距离最大，最大值为 2 2(1 3) (3 0) 5    ，故 D正确，故选：AC. 【变式 2-6】(多选)(23-24 高二上·云南昭通·阶段练习)已知点  1 ,1 3A t t  到直线 : 2 1l y x  的距离为 5 5 ， 则点A的坐标可以是( ) A．  0, 2 B．  2, 4 C．  0,2 D．  1,1 【答案】AB【难度】0.65【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线 l： 2 1y x  可化为 2 1 0x y   ， 依题意得     2 2 1 1 3 1 5 52 1 t t      ，整理得 1t  ，所以 1t  或 1t   ． 当 1t  时，点A的坐标为  2, 4 ；当 1t   时，点A的坐标为  0, 2 ． 综上所述：点A的坐标为  0, 2 或  2, 4 .故选：AB． 【变式 2-7】(多选)(24-25 高二上·福建福州·阶段练习)在平面直角坐标系中，记 d为点  1,0P 到直线 2 0mx y   的距离，当 m变化时， d的值可以为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB【难度】0.65【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离 【分析】求出直线所过定点，即可求得d的范围. 【详解】直线 2 0mx y   过定点  0,2Q ，所以0 5d PQ   ， 第 9 页 共 25 页 即 0, 5d   ，而 A，B 在范围内，故 A，B 正确.故选：AB． 题型 03 两平行直线的距离 【典例 3-1】(2025·四川成都·模拟预测)已知直线 2 2 0x y m   与直线4 3 0x my   平行，则它们之间的距 离是( ) A． 11 5 5 B．11 5 10 C． 3 5 10 D． 9 5 5 【答案】B【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】先求出m，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线 2 2 0x y m   即直线4 2 4 0x y m   ，与直线 4 3 0x my   平行，则 2m   ， 故所求即为平行直线4 2 8 0x y   与 4 2 3 0x y   之间的距离， 即所求为 8 3 11 5 1016 4    .故选：B. 【典例 3-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知两条平行直线 1 : 3 6 0l x y   与  2 : 3 0 0l x y C C    间 的距离为 4，则 C的值为( ) A． 14 B． 2 C． 10 D． 14 或 2 【答案】B【难度】0.85【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件 0C  确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得  22 6 4 1 3 C     ，解得 14C  或 2C   ，又因为 0C  ，所以 2C   ． 故选：B. 【典例 3-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)若某直线被两平行线 1 : 1 0l x y   与 2 : 3 0l x y   所截得的线段 的长为 2 2，则该直线的倾斜角大小为( ) A．15 B．15或75 C．30 D．30或150 【答案】B【难度】0.65【知识点】直线的倾斜角、求平行线间的距离 【分析】求出平行线间距离，从而求得直线 l与两平行线间的夹角后可得结论． 【详解】因为直线 1 : 1 0l x y   与 2 : 3 0l x y   平行，所以 1l 与 2l 之间的距离 1 3 2 2 d    ． 设直线 l与 1 2,l l 的夹角为  0 90     ，因为直线 l被直线 1l 与 2l 截得的线段长为 2 2 ， 所以 2 1sin 22 2    ，解得 30  ． 因为直线 1 2,l l 的斜率为 1，所以其倾斜角均为 45，所以直线 l的倾斜角为15或75．故选：B． 【典例 3-4】(2025 高二·全国·专题练习)到直线 3 4 2 0x y   的距离为 1 的直线方程为( ) A．3 4 3 0x y   B．3 4 7 0x y   第 10 页 共 25 页 C．3 4 3 0x y   或3 4 1 0x y   D．3 4 7 0x y   或3 4 3 0x y   【答案】D【难度】0.85【知识点】求平行线间的距离 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为3 4 0x y c   ．由题意知 2 1 9 16 c    ，解得 7c  或 3c   ， 即所求直线方程为3 4 7 0x y   或3 4 3 0x y   ．故选：D． 【变式 3-1】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 1 : 4 3 5 0l x y   与直线 2 :8 6 15 0l x y   ，在 1l 上任取 一点A，在 2l 上任取一点 B，连接 AB，取 AB的靠近点 B的四等分点C，过点C作 1l 的平行线 3l ，则 1l 与 3l 之 间的距离为( ) A． 5 8 B． 15 8 C． 3 8 D． 1 8 【答案】B【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离 【分析】方法 1，由题可得 1l 与 2l 平行，则 1l 与 3l 之间的距离为 1l 与 2l 之间距离的 3 4 ，据此可得答案；方法 2， 注意到 A，B 的选取对直线 3l 方程无影响，为此取 5 50, , 0, 3 2 A B           ，可得 3l 方程，据此可得答案. 【详解】方法 1，直线 2l 的方程可化为 154 3 0 2 x y   ，又 1 : 4 3 5 0l x y   ，故直线 1l 与 2l 平行． 如图，过 A作 2AD l 于点D，交直线 3l 于点 E，则 AE 为所求直线 1l 与 3l 的距离． 因为 1 2 3// //l l l ， 3 4 AC AB ，所以 2 2 155 23 3 15 4 4 84 ( 3) AE AD            ． 方法 2，由方法 1，直线 1l 与 2l 平行，则 A，B 的选取对直线 3l 方程无影响， 不妨设 5 50, , 0, 3 2 A B           ，因为C为 AB上靠近点 B的四等分点，则 3AC CB   ， 设  0,C y ，则 5 5 353 3 2 24 y y y           . 设直线 3l 的方程为 14 3 0x y C   ，将点C的坐标代入，得 1 35 8 C   ， 则 354 3 0 8 x y   ，故直线 1l 与 3l 之间的距离 2 2 355 8 15 84 ( 3) d          ．故选：B 第 11 页 共 25 页 【变式 3-2】(多选)(25-26 高二上·全国·单元测试)平行于直线 2x y   0，且与它距离为 2的直线方程可能 是( ) A． 0x y  B． 1 0x y   C． 1 0x y   D． 4 0x y   【答案】AD【难度】0.85【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】设与直线 2 0x y   平行的直线方程为 x  0, 2y m m    ，然后由平行直线距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线 2 0x y   平行的直线方程为 x  0, 2y m m    ，由两平行直线间的距离公 式可得 d  | 2 | 2 2 m   ，解得 0m  或 4m   ，故所求直线方程为 x  0y  或 4 0x y   ．故选：AD 【变式 3-3】(多选)(24-25 高二下·广东深圳·阶段练习)以下四个命题表述正确的是( ) A．若直线倾斜角 π 2π, 4 3       ，则直线的斜率不存在或斜率 k的取值范围是   , 3 1,     B．直线    3 4 3 3 0m x y m m     R 恒过定点  3, 3  C．若直线  1 : 1 3l ax a y   与    2 : 1 2 3 2l a x a y    互相垂直，则 3a   D．若直线 1 : 2 3 0l x y   与 2 : 2 2 0l x ay   平行，则 1l 与 2l 的距离为 4 5 5 【答案】AD【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知直线垂直求参数、求平行线间的距离、直线过定点问题 【分析】对于 A由 tank  即可求解，对于 B将直线整理为  3 3 4 3 0x m x y     即可求解，对于 C由 1 2l l 得     1 1 2 3 0a a a a     即可求解，对于 D先求 a，再利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】对于 A：当 π 2   时，直线的斜率不存在， 当 π π π 2π, , 4 2 2 3            时，由斜率 tank  ，   , 3 1,k       ，故 A 正确； 对于 B：由直线  3 4 3 3 0m x y m     得  3 3 4 3 0x m x y     ， 令 3 0x   有3 4 3 0x y   解得 3 3 x y     ，即定点为  3,3 ，故 B 错误； 对于 C：直线  1 : 1 3l ax a y   与    2 : 1 2 3 2l a x a y    互相垂直， 则        1 1 2 3 0 1 3 0a a a a a a          解得 3a   或1，故 C 错误； 对于 D：由 1 2l l// 有 4a   ，所以 1l 与 2l 的距离为   2 2 6 2 4 5 52 4 d      ，故 D 正确；故选：AD. 【变式 3-4】(多选)(24-25 高二上·浙江杭州·期末)下列结论正确的是( ) A．  1 : 2 1 2 3 0l x a y a     ， 22 : 3 4 0l ax y a    ，若 1 2l l// ，则 1a   或 3 2 a  B．  1, 1a   是直线 3 0x y   的一个方向向量 C．直线 1 0x y   与直线 2 2 1 0x y   之间的距离是 2 第 12 页 共 25 页 D．与点  1, 2A  的距离为 1，且与点  3, 1B  的距离为 4 的直线共有 3 条 【答案】BD【难度】0.65【知识点】直线方向向量的概念及辨析(空间中)、求平行线间的距离、已知直线平 行求参数、圆的公切线条数 【分析】由直线平行的判定求参数判断 A；写出直线斜率，结合斜率与方向向量关系确定一个方向向量判断 B；将 2 2 1 0x y   化为 1 0 2 x y   ，应用平行线的距离公式判断 C；两点公式求 | |AB ，转化为判断两个 外切的圆的公切线的条数判断 D. 【详解】A：若 1 2l l// ，显然 0a  ，则 2 1 2 1 2 3 3 4 a a a a      ，可得 3 2 a  ，故 A 错误； B： 3 0x y   的斜率为 1 ，显然  1, 1a   是直线的一个方向向量，故 B 正确； C：由 2 2 1 0x y   即 1 0 2 x y   ，与 1 0x y   的距离为 1 1 3 22 42   ，故 C 错误； D：由 2 2| | (3 1) ( 1 2) 5AB       ，以 ,A B为圆心，半径分别为1, 4的两个圆外切， 所以，只需判断两圆公切线的条数即可，显然一共有 3 条，故 D 正确.故选：BD 【变式 3-5】(24-25 高二下·上海杨浦·期中)已知直线 1l ： 2 0x my   与直线 2l ： 2 0mx y   平行，其中 Rm ， 则直线 1l 与 2l 之间的距离等于 ． 【答案】 2 2 【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行的条件求出 1m  ，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线 1 2l l// ，则 2 1m  且 2 2m  ，所以 1m  . 所以 1l ： 2 0x y   与直线 2l ： 2 0x y   之间的距离  2 2 2 2 1 1 d      .故答案为： 2 2 . 题型 04 距离的应用 【典例 4-1】(2024 高三·全国·专题练习)若点  3,1P 到直线 : 3 4 0l x y a   ( 0a  )的距离为 3，则 a  ( ) A．3 B．2 C． 3 2 D．1 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】利用点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为点  3,1P 到直线 : 3 4 0l x y a   ( 0a  )的距离为 3， 所以 13 3 9 16 a d     ，结合 0a  可得 2a  ，故选：B. 【典例 4-2】(24-25 高二上·广东深圳·期末)已知两点  3,2A 和  1,4B  到直线 3 0mx y   距离相等，则m值 为( ) A．0或 1 2  B． 1 2 或 6 C． 1 2  或 1 2 D．0或 1 2 【答案】B【难度】0.94【知识点】求到两点距离相等的直线方程 第 13 页 共 25 页 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式 2 2 3 2 3 4 3 1 1 m m m m         ，由此能求出m． 【解答】两点  3,2A 和  1,4B  到直线 3 0mx y   距离相等， 2 2 3 2 3 4 3 1 1 m m m m          ，解得 1 2 m  ，或 6m   ．故选：B． 【典例 4-3】(24-25 高二上·湖南·阶段练习)已知点  0 0,x y 为直线 2 6 0x y   上任意一点，则  2 20 01x y  的最小值是( ) A．2 B． 3 C． 6 D． 5 【答案】D【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点 ( 1,0)A  到直线 : 2 6 0l x y   上的点的距 离最小问题，即当 PA l 时，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】  2 20 01x y  可理解为动点 0 0( , )P x y 到定点 ( 1,0)A  的距离 d， 而动点 0 0( , )P x y 在直线 : 2 6 0l x y   上，故当且仅当PA l 时， d取得最小值， 即 min 2 2 | 1 6 | 5 1 2 d     ，故  2 20 01x y  的最小值是 5 .故选：D. 【典例 4-4】(24-25 高二上·吉林长春·期中)已知  ,m n 为直线 1 0x y   上的一点，则    2 22 2 2 1m n m n     的最小值为( ) A． 2 3 B． 10 C．4 D．3 【答案】D【难度】0.65【知识点】坐标法的应用——点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，    2 22 2 2 1m n m n     为点  ,P m n 到原点O和到点  2,1A  的距离之和，即 PO PA ． 设  0,0O 关于直线 1 0x y   对称的点为  ,B a b ， 则 1 0 2 2 1 a b b a         ，解得 1 1 a b    ，即  1,1B ， 则 PO PB ，当 , ,A P B三点共线时， PO PA 取到最小值， 且最小值为  1 2 3PO PA AB      ．故选：D. 【变式 4-1】(24-25 高三上·山东临沂·阶段练习)已知点  ,P x y 在直线 3 1 0x y   上的运动，则 2 2( 2)x y  第 14 页 共 25 页 的最小值是( ) A． 1 2 B． 2 2 C． 1 4 D． 3 4 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】  22 2x y  表示点  ,P x y 与  0,2 距离的平方，求出  0,2 到直线 3 1 0x y   的距离，即可得到 答案. 【详解】      2 2 22 2 0 2x y x y     表示点  ,P x y 与  0,2 距离的平方， 因为点  0,2 到直线 3 1 0x y   的距离    2 2 0 2 1 1 23 1 d       ， 所以 2 2( 2)x y  的最小值为 2 1 4 d  ．故选：C 【变式 4-2】(24-25 高二上·陕西安康·阶段练习)已知点  0,2M ，点  ,P x y 在直线 2 1 0x y   上，则 MP 的 最小值是( ) A． 5 5 B． 3 5 5 C． 4 5 5 D． 5 【答案】A【难度】0.94【知识点】求点到直线的距离 【分析】 MP 的最小即点到直线的距离，代入公式即可. 【详解】由题意， MP 的最小值是点  0,2M 到直线 2 1 0x y   的距离， 即 2 2 0 2 2 1 1 1 5 552 1 d         .故选：A. 【变式 4-3】(24-25 高二上·湖南邵阳·期中)已知两点 (3,2)A 和 ( 1, 4)B  到直线 3 0mx y   的距离相等，则实 数m的值为( ) A． 6 或 12 B． 1 2  或1 C． 1 2  或 1 2 D．0或 1 2 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由 ,A B两点到直线距离相等可得直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的 中点，列方程求m可得结论． 【详解】依题意得，直线 3 0mx y   过线段 AB的中点，或与直线 AB平行. 线段 AB的中点坐标为  1,3 ，且在直线 3 0mx y   上， 3 3 0m    ，解得 6m   ； 由两直线平行知 4 2 1 3 m     ，解得 1 2 m  .因此m的值为 6 或 12 ，故选：A 【变式 4-4】(24-25高二上·四川宜宾·期中)已知直线 l经过定点 (0, 1)P  且与直线 2 0ax y   平行，若点  0,1A 和  4,5B 到直线 l的距离相等，则实数 a的值为( ) A． 1 B． 2 C． 1 或 2 D． 1 或 2 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知直线平行求参数、已知点到直线距离求参数 第 15 页 共 25 页 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线 l经过定点 (0, 1)P  且与直线 2 0ax y   平行可设直线 l的方程为 1 0ax y   ； 点  0,1A 和  4,5B 到直线 l的距离相等可知 2 2 4 62 1 1 a a a     ， 解得 1a   或 2a   .故选：C 【变式 4-5】(24-25 高二上·湖北武汉·期中)已知直线 1 : 3 0l x y   与 2 : 3 1 0l x y   相交于点 M ，则点M 到直线 3 : 2 1 0l x y   的距离为( ) A． 5 5 B． 2 5 5 C． 5 D． 2 5 【答案】A【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】解方程组求得交点M 坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【详解】由 3 0 3 1 0 x y x y        得 1 2 x y    ，即 (1, 2)M ， 所以点M 到直线 3 : 2 1 0l x y   的距离为 2 2 1 5 55 d     ，故选：A． 【变式 4-6】(24-25 高二上·四川南充·期中)∆ABC中  1,3A ，  3,1B ，  1, 1C   ，则∆ABC的面积( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、求点到直线的距离、直线的点 斜式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】求直线 AB的方程和 AB ，以及点  1, 1C   到直线 AB的距离，即可得面积. 【详解】由题意可知：    2 23 1 1, 1 3 3 1 2 2 1 3AB k AB         ， 可知直线  : 3 1AB y x    ，即 4 0x y   ， 可得点  1, 1C   到直线 AB的距离 1 1 4 3 2 2 d      ， 所以∆ABC的面积 1 1 3 2 2 2 6 2 2ABC S d AB     V .故选：C. 【变式 4-7】(24-25 高二上·贵州黔东南·期中)已知点    2,1 , 1,0 ,P Q H 在直线 1 0x y   上，则 HP HQ 的 最小值为( ) A． 2 3 B． 11 C．3 D． 10 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】由点关于直线的对称点方法求出  0,3P ，再有三点共线求出最小值即可； 【详解】如图，设 P关于直线 1 0x y   对称的点为  ,P a b ，则 第 16 页 共 25 页 1 1, 2 2 1 1 0, 2 2 b a a b            解得 0, 3, a b    ，则  0,3P ， 所以 1 9 10HP HQ HP HQ P Q       .故选：D. 【变式 4-8】(24-25 高二上·山东临沂·期中)若 ( 2, 1)A   ， (1,1)B 两点到直线 : 1 0l ax y   的距离相等，则 a  ( ) A． 2 3 B． 2 3  C．2 或 2 3 D．2 或 2 3  【答案】C【难度】0.94【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于 a的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知， 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a a a a         ， 得 2 2a a  ，解得 2a  或 2 3 ，即实数 a的值为 2或 2 3 .故选：C 1.(2025·山东·模拟预测)已知四边形 ABCD的顶点 , , ,A B C D的坐标分别为        1, 1 , 3,1 , 0,4 , 2,2  则四边 形 ABCD的面积为( ) A．24 B．12 2 C．12 D．6 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】由条件可得到 ABCD为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案. 【详解】由 ,A B点坐标，可得到  2,2AB   ，同理可得到  2, 2DC   ； AB DC    ，所以四边形 ABCD为平行四边形； 由  0,4C ，  2,2D  ，可得到直线CD方程为 4 0x y   ， 点A到直线CD的距离  1 1 4 3 2 2 d      ， 又 2 2CD  ， 2 2 3 2 12ABCDS CD d      .故选：C 2.(24-25 高一上·四川·期中)已知直线 1 : 2 3 0l ax y a   和直线  2 : 3 1 3 0l x a y a     ，则下列说法错误的 是( ) 第 17 页 共 25 页 A．若直线 2l 的斜率为 1，则 2l 与坐标轴围成的三角形面积为 25 18 B．直线 1l 的斜率一定存在 C．若 1 2/ /l l ，则 3a  或 2a   D．点  0,0O 到直线 1l 的距离的最大值为 2 【答案】D【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、已知直线平行求参数、求点到直线的距离、直线的斜截式方程及辨析 【分析】由直线的斜截式建立关于 a的方程，求出 a即可判断 A；求出直线 1l 的斜率为 2 a  即可判断 B；根据 两直线的位置关系求出 a，验证即可判断 C；根据点到直线的距离公式化简计算即可判断 D. 【详解】A：直线 2l 的斜率为 1， 1a  不合题意， a不等于 1 时，易知 2 3 3: 1 1 al y x a a       ，则 3 1 1a    ， 解得 2a   ，此时 2 5: 3 l y x  ，与坐标轴的交点分别为 5 5(0, ), ( ,0) 3 3  ， 所以直线 2l 与坐标轴所围成的三角形面积为 1 5 5 25 2 3 3 18    ，故 A 正确； B：由 2 3 0ax y a   ，得 32 2 a ay x   ，所以直线 1l 的斜率为 2 a  ，必定存在，故 B 正确； C：若 1 2l l// ，则 ( 1) 2 3a a    ，解得 3a  或 2a   . 当 3a  时， 1 2: 3 2 9 0, : 3 2 0l x y l x y     ，此时 1 2l l// ； 当 2a   时， 1 2: 2 2 6 0, : 3 3 5 0l x y l x y       ，此时 1 2l l// ，故 C 正确； D：点 (0,0)到直线 1l 的距离为 2 3 4 a d a   ， 当 0a  时， 0d  ；当 0a  时， 2 22 2 3 9 9 3444 1 a ad aa a       ， 所以点 (0,0)到直线 1l 的距离的最大值不存在，故 D 错误.故选：D 3.(24-25 高二上·四川绵阳·阶段练习)若点  ,m n 在直线 l：3 4 13 0x y   上，则  2 21m n  的最小值为( ) A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据表达式特征求出点  1,0 到直线 l的距离即可. 【详解】易知  2 21m n  代表点  ,m n 与点  1,0 之间的距离， 因此当两点连线与直线 l垂直时，  2 21m n  取得最小值， 其最小值为点  1,0 到直线 l的距离 2 2 3 0 13 2 3 4 d      .故选：A 4.(24-25 高二上·广东广州·阶段练习)已知点 ( , )P x y 在直线 1 0x y   上的运动，则 2 2( 2) ( 2)x y   的最小值 第 18 页 共 25 页 是( ) A． 12 B． 2 2 C． 1 4 D． 3 4 【答案】A【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平 方，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】 2 2( 2) ( 2)x y   可表示为点  ,P x y 到  2, 2  的距离的平方， 由点 ( , )P x y 在直线 1 0x y   上的运动， 则 2 2( 2) ( 2)x y   的最小值为点  2, 2  到直线 1 0x y   的距离 d的平方， 2 2 2 2 1 1 21 1 d           .故选：A. 5.(24-25 高二上·上海·期中)已知点 P(�, b)在直线 x − y = 0 上，则 �2 + �2 − 2� + 2� + 2 + (� − 2)2 + �2 的最小值为( ) A． 5 B． 10 C． 2 5 D． 2 10 【答案】B【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】问题转化为直线 0x y  上的点到点  1, 1A  和  2,0B 的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为  22 2 22 2 2 2a b a b a b              2 2 2 21 1 2 0a b a b        表示  ,P a b 到点  1, 1A  和  2,0B 的距离之和. 又  ,P a b 在直线 y x 上，  1, 1A  关于 y x 的对称点为  1,1A  ， 所以 PA PB PA PB A B    ， , ,A P B 三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：    2 21 2 1 0 10A B       .故选：B 6.(24-25 高二上·山西·期中)已知点  1,2A ，直线 l：      2 1 2 7 0x y         R ，则 A到 l的距离 的最大值为( ) A．3 B． 10 C．3 2 D．5 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】先求出定点，再根据当 l AB 时，点 P到 l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可. 【详解】将直线 l的方程变形为  2 2 7 0x y x y       ，由 2 0 2 7 0 x y x y        ， 第 19 页 共 25 页 得 3 1 x y      ，所以直线 l过定点  3, 1B   ， 当 l AB 时，点 P到 l的距离最大，故最大距离为    2 23 1 1 2 5      .故选：D. 7.(24-25 高二上·海南·期中)点  1, 1P  到直线 : 1 0l mx m y    的距离的最大值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】利用直线过定点以及两点间距离公式计算可得结果. 【详解】易知直线 : 1 0l mx m y    恒过定点  1,1 ， 当点  1, 1P  与定点连线垂直于直线 l时，满足题意； 此时距离的最大值为    2 21 1 1 1 2    .故选：A 8.(24-25 高二上·江苏·期中)已知 :3 4 6 0l x y   ， ( , )P m n 为 l上一动点，则 2 2( 1)m n  的最小值为( ) A． 3 5 B． 6 5 C． 9 25 D． 36 25 【答案】C【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离 【分析】 2 2( 1)m n  的最小值即为 ( , )P m n 与 ( 1,0) 的距离的平方的最小值，然后求点 ( 1,0) 到直线的距离 即可求解. 【详解】由于  22 2 2 2( 1) ( 1)m n m n     ， 所以 2 2( 1)m n  的最小值即为 ( , )P m n 与 ( 1,0) 的距离的平方的最小值， 则点 ( 1,0) 到直线上 ( , )P m n 的最小值即为点 ( 1,0) 到直线的距离， 故 2 2 3 6 3 53 4 d      ，所以 2 2( 1)m n  的最小值为 23 9 5 25       .故选：C. 9.(24-25 高二上·云南玉溪·阶段练习)对于直线 1 : 2 3 0l ax y a   ，  2 : 3 1 3 0l x a y a     .以下说法正确的 有( ) A． 1 2//l l 的充要条件是 3a  B． 1 2l l 的充要条件是 2 5 a  C．直线 2l 一定经过点  1,1M  D．点  1,3P 到直线 1l 的距离的最大值为5 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、探求命题为真的充要条件、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】利用两直线平行求出m的值，可判断 A 选项；利用两直线垂直求出实数m的值，可判断 B 选项； 求出直线 2l 所过定点的坐标，可判断 C 选项；求出直线 1l 所过定点 N的坐标，分析可知，当 1PN l 时，点 P 到直线 1l 的距离最大，结两点间的距离公式可判断 D 选项. 【详解】因为直线 1 : 2 3 0l ax y a   ，  2 : 3 1 3 0l x a y a     ， 第 20 页 共 25 页 对于 A 选项，若 1 2//l l ，则     1 2 3 3 3 3 a a a a a         ，解得 2a   或3， 所以， 1 2//l l 的充要条件是 3a  或 2 ，A 错； 对于 B 选项，若 1 2l l ，则  3 2 1 5 2 0a a a     ，解得 2 5 a  ，B 对； 对于 C 选项，直线 2l 的方程可化为  1 3 3 0a y x y     ， 由 1 0 3 3 0 y x y       ，解得 2 3 1 x y       ，即直线 2l 过定点 2 ,1 3      ，C 错； 对于 D 选项，直线 1l 的方程可化为  3 2 0a x y   ，由 3 0 2 0 x y     可得 3 0 x y     ，即直线 1l 过定点  3,0N  ， 因为直线 PN的斜率为 3 0 3 1 3 4PN k    ，当 1PN l 时，则直线 1l 的斜率为 4 2 3 a    ，即 8 3 a  ， 此时，点 P到直线 1l 的距离的最大值为    2 21 3 3 0 5PN      ，D对.故选：BD. 10.(24-25 高二上·江苏常州·期中)已知直线    : 2 1 1 2 4 0l m x m y m      ，则下列结论正确的是( ) A．直线 l过定点  2, 2 B．原点 O到直线 l距离的最大值为 2 2 C．若点  1,0A  ，  10B , 到直线 l的距离相等，则 2m   D．若直线 l不经过第四象限，则 12 2 m    ． 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】直线图象的辨析、求平面两点间的距离、直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】A 选项，变形后，得到方程组 2 2 0 4 0 x y x y        ，求出定点坐标；B 选项，直线 l过定点  2,2E ，故最 大值为 2 2OE  ；C 选项，由点到直线距离公式得到方程，求出 1 2 m   或-2；D 选项，数形结合得到0 1lk  时满足要求，从而得到不等式，求出答案. 【详解】A 选项，      : 2 1 1 2 4 0 2 2 4 0l m x m y m m x y x y             ， 令 2 2 0 4 0 x y x y        ，解得 2 2 x y    ，故直线 l过定点  2, 2 ，A 正确； B 选项，由 A 选项知，直线 l过定点  2,2E ， 故原点 O到直线 l距离的最大值为 2 22 2 2 2OE    ，B 正确； C 选项，点  1,0A  ，  10B , 到直线 l的距离相等， 故          2 2 2 2 2 1 2 4 2 1 2 4 2 1 1 2 1 1 m m m m m m m m               ，故 4 5 3m   ，解得 1 2 m   或-2，C 错误； 第 21 页 共 25 页 D选项，直线    : 2 1 1 2 4 0l m x m y m      不经过第四象限， 当 2 1 0m   时， : 2l y  满足要求，此时斜率为 0， 当    : 2 1 1 2 4 0l m x m y m      经过原点时， 2 4 0m   ，解得 2m   ， 此时 : 0l x y   ，斜率为 1，数形结合得到，当0 1lk  时，满足要求， 即  2 1 0,1 1 m m    ，解得 12 2 m    ，D 正确.故选：ABD 11.(24-25 高二上·四川眉山·阶段练习)已知直线 : 2 3 0l x y   ，点 (0, 2)R ， (1,1)P ， (1 , )Q m m ，m R ，下 列说法正确的是( ) A．点 P到直线 l的距离为 4 5 5 B．若 P与 Q点位于直线 l的两侧则 5 3 m  C．点 P与点 Q之间距离的最小值为 2 D． QR QP 的最小值为 2 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】由点到线的距离即可求得 A 选项结果；将两个点坐标代入直线方程得到的值符号不同则这两个点 在直线的两侧即可求得参数m的范围判断 B 选项；由点到点的距离公式写出距离表达式，由配方法求得最 小值判断 C 选项；找到动点所在直线，由“将军饮马”模型求得线段和最小值判断 D选项. 【详解】点 P到直线 l的距离 2 2 2 1 3 4 5 52 1 d      ，A 选项正确； ∵将点 (1,1)P 代入直线方程得 2 1 3 4 0    ，要想 P与 Q点位于直线 l的两侧，则将 (1 , )Q m m 代入直线方 程得 2 2 3 0m m    ，即 5 3 m ，B 选项正确；     2 2 2 2 1 1 21 1 1 2 2 1 2 2 2 2 PQ m m m m m                  ，C 选项错误； ∵1 1m m   ，∴点Q在直线 2 : 1 0l x y   上，斜率 1k   ，过点 P作直线 2l l  于点D， 则 : 0l x y   ，联立方程组 1 0 0 x y x y       解得 1 2 x y  ，即 1 1, 2 2 D      ， ∴点 P关于直线 2l 的对称点  0,0A ，连接 A R 与 2l 的交点为Q， 此时 QR QP 最小， QR QP 的最小值： 2QR QP A R   ，D选项正确.故选：ABD. 12.(25-26 高二上·全国·课前预习)已知 (0,1), (2,3)A B ，则 AB ，AB的中点坐标为 . 【答案】 2 2 ; (1, 2)【难度】0.85【知识点】求空间两点的中点坐标、求平面两点间的距离 第 22 页 共 25 页 【分析】由两点之间距离公式及中点坐标公式得到答案. 【详解】因为 (0,1), (2,3)A B ，所以    2 20 2 1 3 2 2AB      ， 中点坐标 0 2 1 3, 2 2        即  1,2 ，故答案为： 2 2； (1, 2) . 13.(25-26 高二上·全国·期中)若两条平行直线 1l ： 2 0x y m   与 2l ： 2 6 0x ny   之间的距离是 2 5 ，则直 线 1l 在 x轴上的截距为 ． 【答案】 7 或 13【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行可得 n，再利用平行直线间的距离公式计算可得 m，即可得到答案． 【详解】由题意， 0n  ，因为 1 2l l// ，所以 2 1 2n   ，解得 n  4，所以 2l ：2 4 6 0x y   ，即 2 3 0x y   ， 由两平行直线间的距离公式得  22 3 2 5 1 2 m     ，解得 7m  或 13m   ． 在 2 0x y m   中，令 0y  ，得 x m  ，故直线 1l 在 x轴上的截距为 7 或 13. 故答案为： 7 或 13. 14.(2025·上海奉贤·二模)直线3 4 5 0x y   上的动点 P和直线3 4 10 0x y   上的动点Q，则点 P与点Q之间 距离的最小值是 ． 【答案】3【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线3 4 5 0x y   和直线3 4 10 0x y   互相平行， 故点 P与点Q之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离： 2 2 5 10 3 3 4 d      .故答案为：3 15．(24-25 高二上·江苏常州·期中)已知△ ABC的三个顶点为  2,1A  ，  1, 4B ，  0, 1C  . (1)求证：△ ABC为直角三角形；(2)求 BC边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明过程见详解(2) 26 5 7 0 2 x y  ， 【难度】0.85【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)根据两点间距离公式求 AB , BC , AC长度，可得 2 2 2AB AC BC  ，即证△ ABC为直角三角形； (2)BC边上的中线长为 1 2 BC，求出 BC中点的坐标，再根据点斜式求出 BC边上的中线所在的直线方程. 【详解】(1)由已知条件得    2 21 2 4 1 3 2AB      ，    2 21 0 4 1 26BC      ,    2 20 2 1 1 2 2AC       , 则 2 2 2AB AC BC  ,所以△ ABC为直角三角形； 第 23 页 共 25 页 (2)设 BC的中点坐标为  ,D x y ，则 BC边上的中线 26 2 AD  , 由中点坐标公式可得 1 0 1 2 2 x   ， 4 1 3 2 2 y   ，即D的坐标为 1 3, 2 2       ， 直线 AD的斜率为 3 1 12 1 52 2 k     ， 所以 BC边上的中线所在直线方程为 3 1 1 2 5 2 y x       ，即 5 7 0x y   . 16．(23-24 高二上·广西玉林·阶段练习)已知∆ABC三个顶点坐标分别为  1,1A ，  2,3B ，  4,2C . (1)试判断∆ABC的形状；(2)求∆ABC边 AC上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)∆ABC是以 B为直角的等腰直角三角形(2)3 9 0x y   【难度】0.85【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离、直线的点斜式方程及辨析、 由斜率判断两条直线垂直 【分析】(1)根据斜率公式与两点间的距离公式求出 ABk ， AB ， BCk ， BC ，即可判断； (2)求出A、C的中点D的坐标，再根据斜率公式求出 BDk ，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】(1)因为 (1,1)A ， ( )2,3B ， (4, 2)C ， 所以 AB的斜率 3 1 2 2 1AB k    ，    2 22 1 3 1 5AB      ， BC的斜率 3 2 1 2 4 2BC k     ，    2 22 4 3 2 5BC      ， 则 12 ( ) 1 2AB BC k k      ， 所以 AB BC 且 =AB BC ，所以∆ABC是以 B为直角的等腰直角三角形； (2)易求 AC中点坐标 5 3, 2 2 D      ，所以直线 BD的斜率 33 2 352 2 BDk      ， 边 AC上的中线为 3 3( 2)y x    ，化为一般式为3 9 0x y   ． 17(2023 高二上·全国·专题练习)已知∆ABC的三个顶点的坐标是 ( 3,1)A  ， (3, 3)B  ， (1,7)C . (1)判断∆ABC的形状；(2)求∆ABC的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形(2)26【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离 【分析】(1)由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰 直角三角形；(2)由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】(1)因为 ( 3,1)A  ， (3, 3)B  ， (1,7)C ， 所以    2 23 3 3 1 52AB       ，    2 21 3 7 1 52AC      ， 第 24 页 共 25 页    2 21 3 7 3 104BC      ，所以 2 2 2AB AC AB AC BC  ， ， 所以∆ABC是等腰直角三角形. (2)由(1)得 1 1 52 52 26 2 2ABC S AB AC      . 18．(23-24 高二上·全国·课后作业)已知∆ABC的三个顶点分别为  3,1A  ，  3, 3B  ，  1,7C ． (1)求 BC边上的中线 AM 的长；(2)证明：∆ABC为等腰直角三角形． 【答案】(1) 26 (2)答案及解析【难度】0.85 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离 【分析】(1)首先求出线段 BC的中点M 的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； (2)利用距离公式求出 AB ， BC ， AC ，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】(1)因为  3, 3B  ，  1,7C ，所以线段 BC的中点M 的坐标为  3 1 3 7, 2, 2 2 2         ， 又  3,1A  ，则    2 22 3 2 1 26AM         ． (2)因为    2 23 3 3 1 2 13AB          ，     221 3 7 3 2 26BC         ，    2 21 3 7 1 2 13AC         ， 因为 2 2 2AB AC BC  ，且 AB AC ，所以∆ABC为等腰直角三角形． 19．(22-23 高二上·辽宁大连·阶段练习)如图，直线 l过点  3,2 ，与 x轴､ y轴的正半轴分别交于 A， B两点， AOB△ 的面积为12 .点 P为线段 AB上一动点，且 //PQ OB交OA于点Q . (1)求直线 AB斜率的大小；(2)在 y轴上是否存在点M ，使 MPQ△ 为等腰直角三角形？若存在，求出点M 的 坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 2 3  (2)存在， 120, 5       或  0,0 或 30, 2       【难度】0.65 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)根据直线过点  3,2 ，利用点斜式设直线方程，根据直线在坐标轴上的截距可得三角形的两个直 角边，进而可得面积，求解斜率； (2)分情况讨论 MPQ△ 直角顶点的情况，结合等腰直角三角形的性质求解. 第 25 页 共 25 页 【详解】(1)由已知直线斜率存在且 0k  ，直线过点  3,2 ， 设直线方程为  2 3y k x   ，即 3 2y kx k   ， 令 =0y ，则 2 3x k    ，所以 2 3,0A k       ， 2 3OA k    ， 令 =0x ， 3 2y k   ，所以  0, 3 2B k  ， 3 2OB k   ， 1 1 2 3 3 2 12 2 2AOB S OA OB k k          ，解得 2 3 k   ； (2)存在，由(1)得直线 AB为 2 4 3 y x   ， 所以设点 0 0 2, 4 3 P x x      ，  0 0,6x  ，  0 , 0Q x ， 0 2 4 3 PQ x   又点M 在 y轴上，且 MPQ△ 为等腰直角三角形， 当 MP PQ 时，MP PQ ， 则 0 20, 4 3 M x      ， 0MP x ， 0 0 2 4 3 x x   ， 解得 0 12 5 x  ，即 120, 5 M      ； 当 MQ PQ 时，MQ PQ ， 则  0,0Q ， 0=MQ x ， 0 0 2 4 3 x x   ， 解得 0 12 5 x  ，此时  0,0M ，成立， 当 MP MQ 时，MP MQ ， 此时 0 10, 2 3 M x      ， 0 0 1 2 3 x x   ， 解得 0 3 2 x  ，即 30, 2 M      ， 综上所述，在 y轴上是存在点M ，使 MPQ△ 为等腰直角三角形，M 的坐标为 120, 5       或  0,0 或 30, 2       .