1.4.2一元二次不等式及其解法学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.4.2一元二次不等式及其解法 一、知识梳理 1.一元二次不等式：一般地，把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是 或，其中a，b，c均为常数， . 2.一元二次不等式的零点：一般地，对于二次函数，把使 的实数x叫做二次函数的零点. 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系： 的图象 的根 有两个 的实数根， 有两个 的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 二、基础训练 1.不等式的解集为( ) A. B.或 C.或 D. 2.不等式的解集是( ) A. B. C. D. 3.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.的解集为 4.不等式的解集为，则函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 5.一元二次不等式的解集是( ) A.或 B. C.或 D. 6.若不等式的解集为，则b，m的值分别是( ). A.1，1 B.1， C.，1 D.， 7.（多选）若关于x的不等式有解，则实数a可以是( ) A. B. C. D.1 8.（多选）下列不等式的解集为R的是( ) A. B. C. D. 9.若集合，则实数a的取值范围是__________. 10.关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________. 三、课后练习 1.若关于x的不等式的解集是R，则实数a的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或 2.若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围是( ) A.或 B. C.或 D. 3.不等式组的解集是( ) A. B. C. D. 4.若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.“不等式在R上恒成立”的m的取值范围( ) A. B. C. D. 6.关于x的不等式的解集是，则( ) A.1 B.13 C. D. 7.（多选）若不等式的解集为，则下列说法正确的是( ) A. B. C.关于x的不等式解集为 D.关于x的不等式解集为 8.（多选）已知关于x的不等式，则下列说法中正确的是( ) A.若，则不等式的解集为R B.若，则不等式的解集为或 C.若，则不等式的解集为或 D.若，则不等式的解集为或 9.若不等式在时恒成立，则a的取值范围是_____________. 10.已知不等式的解集为. （1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式：. 答案及解析 一、知识梳理 1.未知数；2；； 2. 3.不相等；相等；； 二、基础训练 1.答案：B 解析：不等式可化为，即，解得或.故所求不等式的解集为或.故选B. 2.答案：D 解析：将不等式变形为，对应方程的两根分别为-1，2，解集是两根之间．故选D． 3.答案：D 解析：对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误; 对于BCD，，是方程的两个根， 所以， 所以，， ，故BC错误，D正确; 故选:D. 4.答案：A 解析：因为不等式的解集为，所以，方程的两根分别为，，由根与系数的关系得解得所以函数的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为和，结合选项知A符合，故选A. 5.答案：B 解析：由可得， 故得. 故选：B. 6.答案：A 解析：不等式，即.由已知得，m是方程的两个根，则解得 7.答案：AD 解析：因为关于x的不等式有解， 所以，解得或，结合选项可知A，D正确. 故选：AD. 8.答案：AC 解析：因为，所以不等式的解集为R，所以A正确， 因为，所以方程的两根为，所以不等式的解集为，所以B错误， 因为，所以不等式的解集为R，所以C正确， 因为，所以D错误，故选AC. 9.答案： 解析：①若，则不成立，此时解集为空集； ②若，则解得. 综上知. 10.答案： 解析：当时，易知条件不成立；当时，要使不等式的解集为R，必须满足解得. 三、课后练习 1.答案：B 解析：当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得. 综上，实数a的取值范围是. 故选B. 2.答案：A 解析：因为关于的不等式有解，所以，解得或. 故选A. 3.答案：B 解析：，，.，，或.原不等式组的解集为. 4.答案：C 解析：当时，不等式为，对一切实数x都成立，满足题意； 当时，要使不等式对一切实数x都成立， 需满足解得. 综上可知，k的取值范围是.故选C. 5.答案：A 解析：关于x的不等式在R上恒成立， 若，即，不合题意， 若，则，解得. 故选：A. 6.答案：D 解析：由题可知与为关于x的方程的两个根， 所以解得所以， 故选：D. 7.答案：ABD 解析：因为不等式的解集为， 所以，， 故，，此时，所以A正确，B正确； ， 解得：或.所以D正确；C错误 故选：ABD 8.答案：BCD 解析：关于x的不等式可转化为，即①.若，则①式转化为，此时不等式的解集为，故A错误；若，则①式转化为，此时不等式的解集为或，故B正确；若，则，此时不等式的解集为或，故C正确；若，则，此时不等式的解集为或，故D正确. 9.答案： 解析：根据函数的图象可知，只要保证在和时的函数值均小于等于0即可， 即解得.故答案为. 10.答案：（1） （2）当时，不等式的解集为或； 当，时，不等式的解集为； 当，时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 解析：（1），由题可得恒成立，且的解集为， 故方程的两个根为2和3， 则解得 恒成立， 即恒成立，所以，所以. ，即， 即，解得， 不等式有且仅有9个整数解，故，解得. 综上可得，a的取值范围为. （2）当时，由（1）得， ，即，即， ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为. 当时，由题意可得恒成立，且的解集为， 则解得 恒成立，即恒成立，故，解得. ，即，即，该不等式的解集为或. 当，时，解得 则即，无解； 当，时，解得 则即，解得. 综上可得，当时，不等式的解集为或； 当，时，不等式的解集为； 当，时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$