课时作业29 直线与抛物线的位置关系及其应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(二十九)　直线与抛物线的位置关系及其应用 [基础达标练] 1．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于(　　) A．16　　　　　　　　　　 B．12 C．10 D．8 答案：B 2．若抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于(　　) A． B． C． D．1 解析：选B　由消y，得ax2－x＋1＝0. ∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切， ∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根． ∴Δ＝(－1)2－4a＝0.解得a＝. 3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) A． B． C． D．3 答案：A 4．若直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，且AB中点的横坐标为2，则k＝(　　) A．2或－2 B．2或－1 C．2 D．3 解析：选C　由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0. 又由Δ＝42(k＋2)2－16k2＞0，得k＞－1. 由＝4，得k＝2或k＝－1(舍去)．故选C． 5．设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：由y2＝8x，得2p＝8，p＝4.则点F的坐标为(2,0)． 所以过A，B的直线方程为y＝(x－2)． 联立得x2－28x＋4＝0. 设A，B两点的坐标分别A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝28. 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝28＋4＝32. 答案：32 6．若直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________． 解析：由 消去y，得x2－10x＋9＝0.解得x＝1或9. 所以或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2.因为|PQ|＝8， 所以梯形APQB的面积S＝×8＝48. 答案：48 7．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程． 解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)． 由方程组消去y，得2x2－ax＋a＝0. 因为直线与抛物线有两个交点， 所以Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8. 设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝ ＝ . 因为|AB|＝，所以 ＝， 即a2－8a－48＝0.解得a＝－4或a＝12. 所以所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y. 8．已知直线y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点． (1)若|AB|＝10，求实数m的值； (2)若OA⊥OB，求实数m的值． 解：由 消去y，得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0， 解得m<2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2. 所以y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. (1)因为|AB|＝· ＝·＝10， 所以m＝，经检验符合题意． (2)因为OA⊥OB， 所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0. 解得m＝－8或m＝0(舍去)． 所以m＝－8，经检验符合题意． [能力提升练] 9．过抛物线y2＝4x的焦点F作斜率为的直线，交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A　由题意知，直线AB的方程为y＝(x－1)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线的方程可得3x2－10x＋3＝0. 解得x1＝3，x2＝(x1＞x2)． 因为|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，且＝λ， 所以λ＝＝＝＝3. 10．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点， FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则(　　 ) A．C的准线方程为x＝－4 B．点F的坐标为(0,4) C．|FN|＝12 D．△ONF的面积为8(O为坐标原点) 解析：选AC　如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′， 作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A．由抛物线的解析式，可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4,0)．则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝＝6. 由抛物线的定义，有|MF|＝|MB|＝6.结合题意，有|MN|＝|MF|＝6.故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8， 所以S△ONF＝×8×4＝16.故选AC． 11．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________． 解析：由题意知，p＝，焦点F的坐标为，直线AB的斜率k＝.故直线AB的方程为y＝.代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义，可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.结合图象，可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝.所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝. 答案： 12．已知抛物线y2＝2x，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为________，距离|PA|＝________. 解析：设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)， 则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x＝2＋. 因为x≥0，且在此区间上|PA|2随着x的增大而增大，所以当x＝0时，|PA|min＝. 故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)，最短距离是. 答案：(0,0)　 13．已知O为坐标原点，抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点． (1)求证：OA⊥OB； (2)当△OAB的面积等于时，求实数k的值． 解：(1)证明：显然k≠0. 联立消去x，得ky2＋y－k＝0. 设两交点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠0，x2≠0. 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝－， y1·y2＝－1. 因为A，B均在抛物线y2＝－x上， 所以y＝－x1，y＝－x2，即y·y＝x1x2. 因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1， 所以OA⊥OB． (2)设直线y＝k(x＋1)与x轴交于点N. 令y＝0，则x＝－1，即N点的坐标为(－1，0)． 因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝ON·|y1|＋ON·|y2|＝ON·|y1－y2|＝×1×＝ ， 所以＝.解得k＝±. [素养拓展练] 14．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设，得F. 故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋. 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0. 则x1＋x2＝－. 从而－＝，即t＝－. 所以直线l的方程为y＝x－. (2)由＝3，可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2. 从而－3y2＋y2＝2.故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程，得x1＝3，x2＝. 故|AB|＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$