课时作业26 直线与双曲线的位置关系及其应用（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(二十六)　直线与双曲线的位置关系及其应用 [基础达标练] 1．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．(多选)已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率可以是(　　) A．－　　　　　　　 B．0 C． D．1 解析：选ABC　由题意知，F点坐标为(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过F点的直线与渐近线平行时，满足与与双曲线右支有且只有一个交点，画出图形(图略)，通过图形可知直线斜率的取值范围是，故选ABC． 3．已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选B　由已知条件，易得直线l的斜率k＝＝1. 设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1　①， －＝1.　②， 且x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30. 所以由①②，得＝，即＝1. 又因为a2＋b2＝c2＝9， 故a2＝4，b2＝5. 所以E的方程为－＝1. 4．已知直线l：y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支交于点M，OM(O是坐标原点)的垂直平分线经过C的右焦点，则C的离心率为(　　) A． B．＋1 C． D． 解析：选C　如图，依题意，可得∠MOF＝∠OMF＝30°， OF＝MF＝c. 所以点M的坐标为. 所以－＝1. 结合c2＝a2＋b2，可得9c4－16a2c2＋4a4＝0. 所以9e4－16e2＋4＝0.解得e2＝. 又e＝＞1，所以e＝. 5．若直线y＝x－4与双曲线－＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：将直线方程y＝x－4代入－＝1，整理得2x2－24x＋57＝0.所以x1＋x2＝12，x1·x2＝.由弦长公式，得|AB|＝·＝·＝2. 答案：2 6．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________． 解析：由 消去y，得x2－2mx－m2－2＝0. 所以Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0. 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m. 所以线段AB的中点坐标为(m,2m)． 又因为点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上， 所以5m2＝5，即m＝±1. 答案：±1 7．设动点M到定点F(3,0)的距离与它到直线l：x＝的距离之比为，则点M的轨迹方程为____________． 解析：设点M的坐标为(x，y)，点M到直线l的距离为d， 由已知得＝，即|MF|＝d. ∵点F的坐标为(3,0)，直线l的方程为x＝， ∴|MF|＝ ＝， d＝. ∴＝. 整理得－＝1. ∴点M的轨迹方程是－＝1. 答案：－＝1 8．设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求： (1)直线AB的方程； (2)△OAB的面积(O为坐标原点)． 解：(1)显然直线AB的斜率存在． 设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)， 即y＝kx＋2－k. 由 消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1＝＝ (2－k2≠0)． 解得k＝1. 当k＝1时，满足Δ＞0， ∴直线AB的方程为y＝x＋1. (2)由(1)，得x1＋x2＝2，x1x2＝－3. ∴|AB|＝ · ＝ ×＝4. 又点O到直线AB的距离d＝＝， ∴S△AOB＝ |AB|·d＝ ×4 ×＝2. [能力提升练] 9．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　) A． B．3 C．2 D．4 解析：选B　由题意知，双曲线C的渐近线方程为y＝±x.所以两条渐近线不垂直．又△OMN是直角三角形，所以过点F的直线与x轴一定不垂直．所以其直角为∠OMN或∠ONM. 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x．设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°. 所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2， 则|ON|＝. 所以在Rt△OMN中， |MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B． 法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°.又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)． 由得 所以M点坐标为. 所以|OM|＝＝. 所以|MN|＝|OM|＝3.故选B． 10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选D　不妨设B(0，b)．由＝2，F(c,0)，可得A.代入双曲线C的方程，可得×－＝1. 所以＝.① 又||＝＝4，c2＝a2＋b2， 所以a2＋2b2＝16.② 由①②，可得a2＝4，b2＝6. 所以双曲线C的方程为－＝1. 11．若双曲线－＝1的右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线的离心率的取值范围是________． 解析：如图，因为OA＝AF，F点坐标为(c,0)， 所以xA＝.又因为A在右支上且不在顶点处， 所以＞a. 所以e＝＞2. 答案：(2，＋∞) 12．如图，已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为________． 解析：设双曲线的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形． 点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF， 设AF＝m，BF＝n， 则m－n＝2a，① m2＋n2＝4c2，② 由①，得m2＋n2－2mn＝4a2. 结合②，得S△ABF＝mn＝c2－a2＝b2＝9. 答案：9 13．已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)． (1)若a＝，求l与C相交所得的弦长； (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围． 解：(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1， 联立消去y，得3x2＋2x－2＝0. 设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－. 于是|AB|＝· ＝× ＝. (2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 所以 解得0<a<，且a≠1. 又双曲线的离心率e＝＝， 所以e>，且e≠. 所以e的取值范围是∪(，＋∞)． [素养拓展练] 14．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋ 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且 · ＞2，其中O为原点，求k的取值范围． 解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 由已知得a＝，c＝2. 又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1. 故双曲线C的方程为－y2＝1. (2)将y＝kx＋ 代入－y2＝1中， 得(1－3k2)x2－6 kx－9＝0. 由直线l与双曲线恒交于不同的两点，得 所以k2≠，且k2＜1.① 设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 则xA＋xB＝，xAxB＝. 由·＞2，得xAxB＋yAyB＞2. 而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋ )(kxB＋ ) ＝(k2＋1)xAxB＋ k(xA＋xB)＋2 ＝(k2＋1)·＋＋2 ＝， 所以 ＞2.解此不等式得 ＜k2＜3.② 由①②，得 ＜k2＜1. 故k的取值范围是 ∪. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$