课时作业20 圆与圆的位置关系（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(二十)　圆与圆的位置关系 [基础达标练] 1．(多选)圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　) A．(－1,0)　　　　　 B．(1,0) C．(0,1) D．(0，－1) 解析：选AD　由 解得或 所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)． 2．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 解析：选B　将两圆方程化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，则圆心距d＝.由于2＜d＜4，所以两圆相交． 3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 解析：选A　法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(－1，2)，得l方程为x＋y－1＝0. 法二：直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，且过圆心(1,0)，得方程为y＝－(x－1)，故选A． 4．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 解析：选C　由题意知，圆C1的圆心坐标为(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心坐标为(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离．从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C． 5．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则实数m＝________，c＝________. 解析：由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，且kAB＝＝－1，即m＝5.又点在该直线上，所以－1＋c＝0.所以c＝－2. 答案：5　－2 6．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是________． 解析：两圆的圆心距d＝＝，半径r1＝1，r2＝4，所以d>r1＋r2.所以两圆相离．故有4条公切线． 答案：4条 7．已知点P(2，－2)和圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝16，则P在圆C________(填“内”“外”或“上”)；以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为____________． 解析：由题意知，C(－1,2)，圆C的半径为4.所以|PC|＝＝5>4.所以P在圆C外．设以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2，r>0，则|PC|＋4＝r，即r＝9.所以以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝81. 答案：外　(x－2)2＋(y＋2)2＝81 8．求过点A(4，－1)且与圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝5相切于点B(1,2)的圆的方程． 解：设所求圆的圆心M(a，b)，半径为r. 已知圆的圆心为C(－1,3)， 因为切点B在连心线上， 即C，B，M三点共线， 所以＝， 即a＋2b－5＝0.① 由于AB的垂直平分线为x－y－2＝0， 圆心M在AB的垂直平分线上， 所以a－b－2＝0.② 联立①②，解得 故圆心坐标为M(3,1)，r＝|MB|＝. 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5. [能力提升练] 9．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　 ) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 答案：ABD 10．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为(　　 ) A．4 B．4 C．8 D．8 解析：选C　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横坐标、纵坐标相等． 设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根． 整理得x2－10x＋17＝0. ∴a＋b＝10，ab＝17. ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32. ∴|C1C2|＝＝＝8. 11．已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________． 解析：由两圆的方程可知，它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过两圆圆心的直线方程为＝，即y＝－x.根据圆的几何性质，可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称．故点P与点Q关于直线y＝－x对称．又P点的坐标为(1,2)，所以点Q的坐标为(－2，－1)． 答案：(－2，－1) 12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． 解析：题意可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意，得≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为. 答案： 13．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系． (2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当m＝1时，圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3， 圆C2的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1， 两圆的圆心距d＝ ＝2， 又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2， 所以r1－r2＜d＜r1＋r2.所以圆C1和圆C2相交． (2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下： 圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径长为3. 假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含， 则圆心距d＝＜3－1， 即(m＋1)2＜0，此不等式无解． 故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含． [素养拓展练] 14．已知圆M与圆N：2＋2＝r2关于直线y＝x对称，且点D 在圆M上． (1)判断圆M与圆N的位置关系； (2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值． 解：(1)因为N关于直线y＝x的对称点为M， 所以圆M的半径r＝ ＝ ＝. 所以圆M的方程为2＋2＝. 又|MN|＝＝＞×2，故圆M与圆N相离． (2)证明：设P(x0，y0)， 则|PA|2＝(x0＋1)2＋2＝(x0＋1)2＋－2＝－x0， |PB|2＝(x0－1)2＋2＝(x0－1)2＋－2＝－x0. 所以2＝，即＝. 又PG为∠APB的平分线， 故＝＝＝2为定值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$