课时作业19 直线与圆的位置关系（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(十九)　直线与圆的位置关系 [基础达标练] 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．过圆心　　　　　 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 答案：D 2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线l：x－y－5＝0所得的弦长等于(　　 ) A． B． C．1 D．5 解析：选A　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径长r＝，圆心(2，－2)到直线l的距离d＝＝.所以直线l被圆截得的弦长为2＝2＝. 3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D． 答案：AB 4．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　 ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案：B 5．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________． 解析：由题意，可得OP和切线垂直．故切线的斜率为＝－.所以切线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 6．点A(3,5)是圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为________． 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－4)2＝102，圆心坐标为B(2,4)，半径长r＝10.设这条弦所在直线为l，则AB⊥l. 因为kAB＝＝1，所以直线l的斜率k＝－1. 所以所求直线为y－5＝－(x－3)， 即x＋y－8＝0. 答案：x＋y－8＝0 7．一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________ m. 解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10. ∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)．将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝. ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m. 答案：2 8．已知直线2x－y＋m＝0和圆O：x2＋y2＝5. (1)m为何值时，直线与圆没有公共点？ (2)m为何值时，截得的弦长为2? 解：(1)由已知，得圆心为O(0,0)，半径长r＝， 圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝＝. 因为直线与圆无公共点，所以d＞r， 即 ＞. 所以m＞5或m＜－5. 故当m＞5或m＜－5时，直线与圆无公共点． (2)由平面几何垂径定理知，r2－d2＝12， 即5－＝1. 解得m＝±2. 所以当m＝±2 时，直线被圆截得的弦长为2. [能力提升练] 9．(多选)若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的值可以是(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选BCD　直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C：＝x－1表示以点(1,1)为圆心，半径长为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0))．当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，直线记为l1；当l与半圆相切时，由＝1，得k＝，切线记为l2.分析可知当＜k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点． 10．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是(　　) A． B．2 C． D．2 解析：选C　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝1.根据对称性可知，四边形PACB的面积S＝2S△APC＝2××|PA|×r＝|PA|＝＝.要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小．|PC|的最小值为圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离，即为＝＝2，所以四边形PACB面积的最小值为＝. 11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． 解析：由题意知，若圆上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d＜1.因为d＝＝，所以0≤＜1，即0≤|c|＜13.解得－13＜c＜13. 答案：(－13,13) 12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 解析：由圆心与切点的连线与切线垂直，得＝－.解得m＝－2.所以圆心为(0，－2)，半径r＝＝. 答案：－2　 13．已知圆C过点(1,1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 解：(1)由题意，设圆心坐标为C(a,0)(a＞0)． 由题意，得 ＝. 解得a＝－6(舍)或a＝2. 所以圆的半径为r＝＝. 故圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2. (2)若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为， 则|AB|＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋3＝0， 弦心距d＝， 得|AB|＝2＝2， 解得k＝－，直线方程为y＝－x＋. 综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝－x＋. [素养拓展练] 14．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解：(1)由题意，得A(40,40)，B(20,0)． 设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点D， 则D(－20，－20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1. 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0. 由(1)，得圆C的圆心为C(10,30)，半径r＝10. 所以圆心C到直线l的距离d＝＝10<10. 故该船有触礁的危险． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$