课时作业18 圆的一般方程（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(十八)　圆的一般方程 [基础达标练] 1．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值为(　　) A．(0,1)　　　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，1) 解析：选D　由题意，可得42＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1. 2．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0 解析：选B　把x2＋y2－2x＋6y＋8＝0配方，得(x－1)2＋(y＋3)2＝2.故圆心为(1，－3)．代入各选项可知，直线2x＋y＋1＝0过圆心． 3．(多选)若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：选BD　将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心(1,2)到直线的距离d＝＝.解得a＝0或a＝2. 4．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 解析：选B　设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0.由该圆过点(1，－1)，求得m＝8.所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0. 5．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则圆C圆心为________，半径为________． 解析：由题意，可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上．将代入直线方程，得－1－＋2＝0.解得a＝－2.故圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y－3＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝5.因此圆心为(－1,1)，半径为. 答案：(－1,1)　 6．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是__________． 解析：把圆的方程x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)． 由kAB＝－，得AB的垂直平分线的斜率为，且过圆心．从而所求直线方程为y－0＝(x－1)， 即3x－2y－3＝0. 答案：3x－2y－3＝0 7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________，圆的面积的最大值为________． 解析：∵r＝ ＝，∴当k＝0时，r最大．此时此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，半径长r＝1，圆的面积最大值为π. 答案：(0，－1)　π 8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程． 解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 又圆心C在直线2x－y－7＝0上， ∴2×－－7＝0， 即D－＋7＝0.　① 又点A(0，－4)，B(0，－2)在圆C上， ∴　② 联立①②，解得D＝－4，E＝6，F＝8. ∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0. [能力提升练] 9．若动圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是(　　) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0 解析：选D　圆心M的坐标(x，y)应满足y＝x或y＝－x，等价于x2－y2＝0. 10．(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中正确的是(　　) A．圆心在直线y＝－x上 B．其圆心在x轴上 C．过原点 D．半径为a 解析：选AC　将圆的方程化为标准方程可知，此圆圆心为(－a，a)，半径为|a|.故A、C正确． 11．若圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，则圆心的轨迹方程为________． 解析：因为方程x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0表示圆，所以(－2a)2＋[2(a－2)]2－4×2＝8(a－1)2＞0，即a≠1.易知圆心坐标为(a,2－a)，且a≠1.设圆心坐标为(x，y)，则有消去a，得x＋y－2＝0(x≠1)，即为所求圆心的轨迹方程． 答案：x＋y－2＝0(x≠1) 12．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________． 解析：直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝， 所以点C到直线AB的最小距离为－1. 所以(S△ABC)min＝×|AB|×＝ ×2×＝3－. 答案：3－ 13．已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 解：法一：(待定系数法)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.③ 由已知|y1－y2|＝4， 其中y1，y2是方程③的两根， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④ 联立①②④，解得 或 故所求的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 法二：(几何法)由题意，得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. 所以所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上， 设其坐标为(a，a－1)． 又圆C的半径长 r＝|CP|＝.① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|. 所以r2＝a2＋2.代入①并将两端平方，得a2－6a＋5＝0.解得a1＝1，a2＝5. 所以r1＝，r2＝. 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. [素养拓展练] 14．有定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 解：如图所示，设P，N两点的坐标分别为P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分， 故＝，＝.从而 因为点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以所求轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$