课时作业17 圆的标准方程（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(十七)　圆的标准方程 [基础达标练] 1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，)　　　　　　　 B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 答案：C 2．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100 答案：B 3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 解析：选C　直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0. 由得∴C(－1,2)． ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5. 4．如果圆(x－m)2＋(y－2m)2＝r2关于直线x＋y－3＝0对称，则圆的圆心坐标为__________． 解析：圆的圆心为(m,2m)，由题意知，圆心在直线上，即m＋2m－3＝0.解得m＝1.所以圆心坐标为(1,2)． 答案：(1,2) 5．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为______________． 解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径长为r＝＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝20. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝20 6．已知点M在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为__________． 解析：由题意知，即解得0≤a<1. 答案：[0,1) 7．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)，若点M(6,9)在圆N上，则半径a＝________. 解：∵点M(6,9)在圆N上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2. ∴a2＝10. 又a＞0，∴a＝. 8．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)； (2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上． 解：(1)圆的半径长为r＝|CP|＝＝5，圆心为点C(8，－3)，所以圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25. (2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2. 因为点P，Q在所求圆上， 依题意，得解得 所以所求圆的方程是x2＋2＝. [能力提升练] 9．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________． 解析：由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5. 答案：5 10．(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M的圆心为(－4,3) C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的线段长为6 答案：ACD 11．点关于直线x－y＋1＝0对称的点的坐标为__________；圆2＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为________． 解析：设点关于直线x－y＋1＝0对称的点的坐标为(m，n)，则 解得所以点关于直线x－y＋1＝0对称的点的坐标为.所以圆2＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋2)2＋2＝. 答案：　(x＋2)2＋2＝ 12．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　) A．2,2－　　 B．2＋，2－ C．，4－ D．＋1，－1 解析：选B　点A(－1,0)，B(0,2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又AB＝，所以△PAB面积的最大值为 × ×＝2＋，最小值为 × ×＝2－.选B． 13．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． 解：(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 所以AB中点(0,1)为圆心，半径r＝|AB|＝. 故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)法一：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x， 即x－3y＋3＝0. 由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2)． 所以r＝|AC|＝＝2. 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 法二：(待定系数法) 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则⇒ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. [素养拓展练] 14．(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值； (2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范围． 解：(1)法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时最大，过圆心A(2,0)作切线l的垂线交于B， 在Rt△ABO中， OA＝2，AB＝. ∴切线l的倾斜角为60°. ∴的最大值为. 同理可得的最小值为－. 法二：令＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立， 消去y，得(1＋n2)x2－4x＋1＝0. ∵Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3， ∴－≤n≤. ∴即的最大值、最小值分别为，－. (2)可以看成圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离．圆心C(0,1)到A(2,3)的距离为d＝＝2. 由图可知，圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离的范围是， 即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$