课时作业14 直线的一般式方程（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(十四)　直线的一般式方程 [基础达标练] 1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　) A．m≠0 B．m≠－ C．m≠1 D．m≠1，m≠－，m≠0 解析：选C　因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立．解得m≠1. 2．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 答案：A 3．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有(　　) A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5 C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5 解析：选B　直线5x－2y－10＝0可以化为截距式方程＋＝1，所以a＝2，b＝－5. 4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为__________． 答案：2x－y＋1＝0 5．过点(－1,5)，且与直线＋＝1垂直的直线方程是________． 解析：直线＋＝1的斜截式为y＝－3x＋6， 故斜率是－3.所以所求直线的斜率是. 所以所求直线方程是y－5＝(x＋1)， 即x－3y＋16＝0. 答案：x－3y＋16＝0 6．已知直线l1：x－my－6＝0，l2：(m－2)x－3y－2m＝0.若l1⊥l2，则m的值为________；若l1∥l2，则m的值为________． 解析：由两直线垂直，可得 1×(m－2)＋m×3＝0.解得m＝. 故当l1⊥l2时，m＝. 由两直线平行，可得＝≠. 解得m＝－1或m＝3. 而当m＝3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去． 故m＝－1. 答案：　－1 7．过点(－1,2)且以直线2x－3y－7＝0的方向向量为方向向量的直线的一般式方程是________． 解析：直线2x－3y－7＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为.又所求直线过点(－1,2)，所以所求直线的方程为y－2＝(x＋1)，即2x－3y＋8＝0. 答案：2x－3y＋8＝0 8．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意； 当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以＝a－2， 解得a＝2或a＝0. 所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2. 所以或 解得a≤－1. 故实数a的取值范围为(－∞，－1]． [能力提升练] 9．若直线4x－3y－12＝0被两坐标轴截得的线段长为，则实数c的值为(　　) A．　　　　　　 B． C．6 D．5 解析：选B　令x＝0，得y＝－4；令y＝0，得x＝3. 依题意，得＝.所以c＝. 10．两直线l1：ax＋by＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若直线l1，l2同时平行于直线l：x＋2y＋3＝0，则a，b的值为(　　) A．，－3 B．，－3 C．，3 D．，3 解析：选C　由2a－b＝0，得b＝2a. 由2(a－1)－1＝0，得a＝. 经检验，当a＝，b＝3时，l1∥l，l2∥l. 11．已知直线l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，直线l2：(a－1)x＋(a2＋a)y＋2＝0.若l1∥l2，则a＝________. 解析：当a＝0时，l1：x＝－1，l2：x＝2，此时l1∥l2， ∴a＝0满足题意； 当a2＋a＝0，即a＝0(舍去)或a＝－1时， l1：y＝－1，l2：x＝1，此时l1⊥l2， ∴a＝－1不满足题意； 当a≠0且a≠－1时，kl1＝， kl2＝， ∵l1∥l2，∴＝，即1－a＝ (1－a)(1＋a)2. 解得a＝1或a＝－2或a＝0(舍去)． 当a＝1时，l1：y＝1，l2：y＝－1，l1，l2不重合； 当a＝－2时，l1：3x－2y－1＝0，l2：－3x＋2y＋2＝0， l1，l2不重合．∴a＝1或a＝－2满足题意． 综上所述，a＝0或a＝1或a＝－2. 答案：0或1或－2 12．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)．由动点P(a，b)在线段AB上可知，0≤b≤1，且a＋2b＝2.从而a＝2－2b.故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋.由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 答案： 13．已知直线l1：2x－y＋1＝0和直线l2：x＋y－4＝0相交于点A，O是坐标原点，直线l3经过点A且与OA垂直． (1)求直线l3的方程； (2)若点B在直线l3上，且|OB|＝10，求点B的坐标． 解：(1)解方程组得A点的坐标为(1,3)． 所以kOA＝3.故直线l3的斜率是－. 所以直线l3的方程为y－3＝(x－1)， 即x＋3y－10＝0. (2)设B点的坐标为(10－3m，m)． 由|OB|＝10，得 ＝10. 解得m＝6或0. 所以B点的坐标为(10,0)或(－8,6)． [素养拓展练] 14．已知直线l过点(－2,1)． (1)若直线l不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最小值，并求出此时直线l的一般式方程． 解：(1)当直线的斜率k＝0时，直线为y＝1，符合题意； 当k≠0时，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)， 直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限， 则有解得k＞0. 综上所述，直线l的斜率k的取值范围为[0，＋∞)． (2)设直线l的方程为y－1＝m(x＋2)． 由题意可知，m≠0. 再由l的方程，得A，B两点的坐标分别为，(0,1＋2m)． 依题意，得解得m＞0. 又S＝·|OA|·|OB| ＝··|1＋2m| ＝· ＝， 易证明函数y＝4m＋在上是减函数，在上是增函数． 所以当m＝时，S取得最小值，且Smin＝4， 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$