课时作业8 用空间向量研究距离问题（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(八)　用空间向量研究距离问题 [基础达标练] 1．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：选C　＝(0,4，－3)，＝(－4,9，－3)， ＝＝9， ||＝＝， BD＝ ＝＝5，故选C． 2．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则点P(1,2，－2)到α的距离为(　　) A． B． C．2 D． 解析：选A　∵＝(－2,0,3)，∴点P到平面α的距离为d＝＝＝. 3．如图所示，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A．5 B．8 C． D． 解析：选C　法一：∵B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求． 如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离．在Rt△A1B1B中，BE＝＝＝，∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为. 法二：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)．设平面A1BCD1的一个法向量为n＝(a，b，c)． 由n⊥，n⊥，得n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0. ∴a＝0，b＝c.∴可取n＝(0,5,12)．又＝(0,0，－5)， ∴点B1到平面A1BCD1的距离为＝. ∵B1C1∥平面A1BCD1， ∴B1C1到平面A1BCD1的距离为. 4．如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于(　　 ) A． B． C． D． 答案：D 5．已知棱长为1的正方体ABCD ­EFGH，若点P在正方体内部且满足 ＝ ＋ ＋ ，则点P到AB的距离为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A　建立如图所示的空间直角坐标系， 则＝ (1,0,0)＋ (0,1,0)＋ (0,0,1)＝ .又＝(1,0,0)， ∴在上的投影为＝. ∴点P到AB的距离为＝ . 6．如图所示，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2，1)．所示＝(1，－1，－1)，＝(0，－2,1)．所以＝＝，||＝.所以点D1到直线GF的距离为 ＝. 答案： 7．已知在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)．所以＝(0,3,1)， ＝(－4,3,0)． 所以点B到直线A1C1的距离d＝＝ ＝. 8．在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)．易知直线AC1的一个单位方向向量为s0＝ ，＝(2,0,1)．故点M到直线AC1的距离d＝＝ ＝ . (2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1C1＝0且n·A1M＝0，即(x，y，z)·(0,2,0)＝0且(x，y，z)·(2,0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0.取x＝1，得z＝2.故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝ .因为N(1,1,0)，所以＝(－1,1，－1)．故点N到平面MA1C1的距离d＝|·n0|＝ . [能力提升练] 9．(多选)如图，在棱长为3的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，P为对角线BD1靠近点B的三等分点，则点P到各顶点的距离的不同取值有(　　 ) A． B．2 C． D．3 解析：选ABCD　建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为3，则点A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，A1(3，0,3)，B1(3,3,3)，C1(0,3,3)，D1(0,0,3)． 所以＝(－3，－3,3)． 设点P坐标为(x，y，z)． 因为＝ ＝(－1，－1,1)， 所以＝＋＝(3,3,0)＋(－1，－1,1)＝(2,2,1)． 所以P(2,2,1)． 所以PA＝PC＝PB1＝ ＝ ， PD＝PA1＝PC1＝ ＝3， PB＝ ，PD1＝ ＝2 . 故点P到各顶点的距离的不同取值有 ,3， ,2 ，共4个． 10．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biē nào)，如图．已知在鳖臑P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________． 答案： 11．如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，AEC1F为平行四边形． (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，设F(0,0，z)． 因为四边形AEC1F为平行四边形， 所以由＝，得 (－2,0，z)＝(－2,0,2)． 所以z＝2.所以F点坐标为(0,0,2)． 所以＝(－2，－4,2)． 于是||＝2 ，即BF的长为2 . (2)设n1为平面AEC1F的一个法向量， 显然n1不垂直于平面ADF， 故可设n1＝(x，y,1)． 所以 所以 即 所以 所以n1＝ . 又＝(0,0,3)， 所以C到平面AEC1F的距离d＝ ＝ ＝ . [素养拓展练] 12．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2 ，∠ABC＝90°，如图①把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图②)． (1)求证：CD⊥AB； (2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离． 解：(1)证明：由已知条件，可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD．又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB． (2)以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,1,0)． 所以＝(0，－2,0)，＝(－1,0，－1)， ＝(－1,1,0)． 设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则由⊥n，⊥n，得 令x＝1，得平面ACD的一个法向量为n＝(1,0，－1)， 所以点M到平面ACD的距离d＝ ＝ . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$