课时作业6 空间向量与平行关系（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(六)　空间向量与平行关系 [基础达标练] 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 解析：选B　a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b.∴l1⊥l2. 2．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α 答案：D 3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为μ＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3　　　　　　　 B．6 C．－9 D．9 解析：选C　∵l⊥α，v与平面α平行， ∴u⊥v，即u·v＝0. ∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0. ∴z＝－9. 4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A．－ B．6 C．－6 D． 解析：选B　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴＝＝.∴λ＝6. 5．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且直线过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝______，z＝________. 解析：因为v∥，且＝(－1,2－y，z－3)， 所以＝＝.解得y＝，z＝. 答案：　 6．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设AB＝a，点P坐标为(0,0，b)，则B1(a,0,1)，D(0，1,0)，E. 所以＝(a,0,1)，＝，＝(0，－1，b)． ∵DP∥平面B1AE， ∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ， 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ ＝. ∴∴b＝λ＝， 即AP＝. 答案： 7．在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点． 求证：PQ∥RS. 证明：法一：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz. 则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)． ∴＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)． ∴＝.∴∥，即PQ∥RS. 法二：＝＋ ＝－＋， ＝＋ ＝＋－， ∴＝.∴∥，即PQ∥RS. [能力提升练] 8．已知向量 ＝(1,5，－2)， ＝(3,1,2)， ＝(x，－3,6)．若DE∥平面ABC，则x的值是(　　) A．5　　　　　　 B．3 C．2 D．－1 解析：选A　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 取x＝6，得n＝(6，－4，－7)． 因为DE∥平面ABC，所以n·＝6x＋(－3)×(－4)＋6×(－7)＝0.解得x＝5. 9．(多选)如图所示，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，下列结论正确的是(　　 ) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 解析：选ACD　∵＝＋＝＋ ，＝＋＝＋ ， ∴∥.从而A1M∥D1P. ∴ACD正确． 10．给出下列命题： ①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝ ，则l与m垂直； ②直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α； ③平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β； ④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1，2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1. 其中真命题是________．(把你认为是正确命题的命题序号都填上) 解析：对于①，因为a＝(1，－1,2)，b＝ ，所以a·b＝1×2－1×1＋2× ＝0，所以a⊥b，所以直线l与m垂直，①正确；对于②，a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)，所以a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l⊂α，②错误；对于③，因为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，所以n1与n2不共线，所以α∥β不成立，③错误；对于④，因为点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，所以＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，所以 即 则u＋t＝1，④正确． 综上，真命题的序号是①④. 答案：①④ 11．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0，2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)．所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)． (1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量， 则n1⊥，n1⊥. 所以 即 令z1＝2，得y1＝－1. 所以n1＝(0，－1,2)是平面ADE的一个法向量． 因为·n1＝－2＋2＝0， 所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE， 所以FC1∥平面ADE. (2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量， 则n2⊥，n2⊥. 所以即 令z2＝2，得y2＝－1.所以n2＝(0，－1,2)是平面B1C1F的一个法向量． 结合(1)得n1＝n2，即n1∥n2. 所以平面ADE∥平面B1C1F. [素养拓展练] 12．如图所示，在四棱锥P ­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由． 解：如图，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，所以P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)． 设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)． 因为∥，所以y(－1)－2(z－1)＝0. ① 因为＝(0,2,0)是平面PAB的一个法向量， 又＝(－1，y－1，z)，若CE∥平面PAB， 则⊥.所以(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0. 所以y＝1.代入①，得z＝. 所以E是PD的中点． 所以存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$