课时作业5 空间向量运算的坐标表示（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(五)　空间向量运算的坐标表示 [基础达标练] 1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　) A．(2，－4,2)　　　　 B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 答案：A 2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　) A． B． C． D． 答案：A 3．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是(　　) A．0 B．π C． D．2π 解析：选B　因为·＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且||＝3，||＝6，所以cos〈，〉＝＝1.因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝0.所以〈，〉＝π. 4．已知a＝(2,0,3)，b＝(4，－2,1)，c＝(－2，x,2)，若(a－b)⊥c，则x等于(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选B　∵a－b＝(－2,2,2)， 又(a－b)⊥c， ∴(a－b)·c＝0，即4＋2x＋4＝0. ∴x＝－4. 5．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________. 解析：∵a·b＝2k，|a|＝， |b|＝ ， ∴cos 120°＝＝－.∵k＜0， 解得k＝－. 答案：－ 6．已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________. 解析：因为＝(λ－1,1，λ－2μ－3)， ＝(2，－2,6)，由A，B，C三点共线，得∥， 即＝－＝. 解得λ＝0，μ＝0. 答案：0　0 7．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h. 由题意，得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)， B1(，0，h)，C1(0,1，h)，则＝(，1，h)， ＝(－，1，h)． 因为AB1⊥BC1， 所以·＝－3＋1＋h2＝0. 所以h＝. (2)由(1)可知，＝(，1，)， ＝(－，1,0)． 所以·＝－3＋1＝－2. 因为||＝，||＝2， 所以cos〈，〉＝＝－. 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. 8．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求||取最小值时，A，B两点的坐标，并求此时的||. 解：由空间两点间的距离公式，得 ||＝ ＝ ＝ ， 当x＝时，||有最小值为. 此时A，B. [能力提升练] 9．(多选)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　) A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 解析：选AD　∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2，0,1)， ∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝＝＝－.由上知B不正确，A、D正确．C显然也不正确． 10．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为(　　) A．3 B． C．2 D． 解析：选B　由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0,6)，B(6,6,0)，M(6,0,4)，O(3,3,3)． 所以||＝＝， 即线段OM的长为.故选B． 11．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标是________． 解析：由已知，得＝(－1，－1，－1)， ＝(2,0,1)， ＝(－x,1，－z)． 由得 解得∴点坐标为(－1,0,2)． 答案：(－1,0,2) 12．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________． 解析：由题意知，a∥b.所以＝＝. 所以 把①代入②，得x2＋x－2＝0， 即(x＋2)(x－1)＝0. 解得x＝－2或x＝1. 当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3. 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，两向量a，b反向， 不符合题意，所以舍去． 当时，b＝(1,2,3)＝a，a与b同向，所以 答案：1,3 13．如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°. (1)求向量的坐标； (2)设向量和的夹角为θ，求cos θ的值． 解：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E. 在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝. 所以DE＝CDsin 30°＝， OE＝OB－BDcos 60°＝1－＝. 所以D点坐标为， 即向量的坐标为. (2)依题意知，＝，＝(0，－1，0)，＝(0,1,0)． 所以＝－＝， ＝－＝(0,2,0)． 由于向量和的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝＝－. 所以cos θ＝－. [素养拓展练] 14．如图所示，在棱长为a的正方体OABC ­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O ­xyz. (1)写出点E，F的坐标； (2)求证：A1F⊥C1E； (3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋. 解：(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． (2)∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)， ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)． ∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0. ∴⊥，即A1F⊥C1E. (3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面， ∴，，共面． 选与为一组基向量，则存在唯一实数对λ1，λ2，使＝λ1＋λ2，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)． ∴解得 ∴＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$