课时作业4 空间直角坐标系（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(四)　空间直角坐标系 [基础达标练] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可以写成(0，b，c) C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标可记作(a,0，c) 解析：选BCD　由空间直角坐标系的概念知，A错，BCD均正确． 2．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)(　　) A．关于xOy平面对称 B．关于xOz平面对称 C．关于yOz平面对称 D．关于x轴对称 答案：C 3．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(　　) A．7　　　　　　 B．－7 C．－1 D．1 解析：选D　由题意知，点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)．故c＝－3，e＝4.故c＋e＝－3＋4＝1. 4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中O为坐标原点，a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 解析：选A　＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k. 5．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________． 答案：(－3,2,1)　(3,2，－1)　(－3，－2,1) (3,2,1) 6．如图所示，以长方体ABCD ­A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为________． 解析：因为的坐标为(4,3,2)， 所以A(4,0,0)，C1(0,3,2)．所以＝(－4,3，2)． 答案：(－4,3,2) 7．如图所示，在三棱锥O ­ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，，方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系O ­xyz，求EF中点P的坐标． 解：令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k， 因为＝＋＝(＋)＋ ＝(＋)＋(－) ＝＋＋ ＝i＋×2j＋×3k＝i＋j＋k， 所以P点的坐标为. 8．在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，，的坐标． 解：分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则A，A1， B1，C1. 所以＝(0,0,2)，＝， ＝. [能力提升练] 9．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是(　　) A． B．　 C． D． 解析：选A　设点P的坐标为(x，y，z)． 由题意可知， ∴x2＋y2＋z2＝.∴＝. 10．已知在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{，，}下的坐标为(　　) A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3) C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9) 答案：B 11．在直三棱柱ABO ­A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，，的坐标分别为________，________. 解析：①因为＝－＝－(＋) ＝－ ＝－－－， 又||＝4，||＝4，||＝2， 所以＝(－2，－1，－4)． ②因为＝－＝－(＋)＝－－， 又||＝2，||＝4，||＝4， 所以＝(－4,2，－4)． 答案：(－2，－1，－4)　(－4,2，－4) 12．正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________. 解析：如图，连接A1C1，C1D，A1D，则E在A1C1上，F在C1D上． 易知EF綊A1D．∴＝， 即－＝0.∴λ＝－. 答案：－ 13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________，在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________． 解析：由题意知，p＝2a＋b－c. 则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)． 设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc. 又p＝2a＋b－c， ∴ 解得x＝，y＝，z＝－1. ∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 . 答案：(1,1,1)　 [素养拓展练] 14．已知a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3，3)，用e1，e2，e3表示a. 解：由题意，得e1，e2，e3不共面． 设a＝αe1＋βe2＋λe3， 即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)． 所以解此方程组得 所以a＝e1＋e2＋e3. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$