课时作业3 空间向量基本定理（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(三)　空间向量基本定理 [基础达标练] 1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇒/ q，q⇒p. 2．(多选)若{a，b，c}是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是(　　) A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋b＋c，b＋c，a D．a＋2b,2b＋3c,3a－9c 答案：AB 3．在正方体ABCD ­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　) A．x＝y＝z＝1　　　　 B．x＝y＝z＝ C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2 解析：选A　＝＋＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋，对比＝x＋y＋z，可得x＝y＝z＝1. 4．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　) A．，－1，－ B．，1， C．－，1，－ D．，1，－ 解析：选A　xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3， 由空间向量基本定理，得解得 5．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn， 即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc. 于是有解得 答案：2　－2 6．在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝__________，＝________. 解析：因为在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c，所以＝＋＝b＋c，＝＋＝c＋＝c＋×(＋)＝c＋(－b＋－)＝c＋(－b＋a－b)＝c＋－. 答案：b＋c　c＋－ 7．如图所示，在平行六面体ABCD ­A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2)；(3). 解：连接AC，AD′，AC′. (1)＝(＋)＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)． (2)＝(＋)＝(＋2＋) ＝(a＋2b＋c)． (3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c. 8．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，v，使a4＝λa1＋μa2＋va3成立？如果存在，求出λμ，v的值，如果不存在，请给出证明． 解：假设存在实数λ，μ，v使a4＝λa1＋μa2＋va3成立，则有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2v)i＋(－λ＋3μ＋v)j＋(λ－2μ－3v)k. ∵{i，k，j}是一组基底， ∴i，j，k不共面． ∴解得 故存在λ＝－2，μ＝1，v＝－3使结论成立．[能力提升练] 9．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的一个基底 B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 D．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底 解析：选ABCD　空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，易知ABCD均为真命题． 10．在四面体O ­ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A． B． C． D． 解析：选A　因为＝ ＝(＋)＝ ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋，从而x＝y＝z＝. 11．在四棱锥P ­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝________. 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－) ＝－＋＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 12．如图所示，在四面体A ­BCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________. 解析：连接AG交BC于点M，连接AE， 则＝－＝＋－＝＋(－)－×(＋)＝－－＋. 答案：－－＋ 13．如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直； (2)求〈，〉． 解：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1， (1)证明：因为＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b) ＝(18a·b－9|a|2) ＝＝0. 所以⊥，即AO⊥BO. 同理，AO⊥CO，BO⊥CO. 所以AO，BO，CO两两垂直． (2)因为＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝＝. 又||＝＝， ·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝. 所以〈，〉＝. [素养拓展练] 14．如图所示，三棱锥O ­ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE＝λOC，记＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示； (2)求||的最小值． 解：(1)＝＋＝＋－ ＝(－)＋λ－＝－a－b＋λc. (2)三棱锥棱长都为1，故a2＝b2＝c2＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，||2＝2＝＋＋λ2＋a·b－λa·c－λb·c＝＋λ(λ－1)＝2＋.故当λ＝时，||取得最小值，且||min＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$