2.5.2 圆与圆的位置关系（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

本讲义聚焦圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种类型，通过几何法（圆心距与半径和差关系）及代数法（联立方程判别式）实现判断。作为点与圆、直线与圆位置关系的延伸，以问题引导、知识填空、自主检验为支架，构建完整位置关系判断知识体系。 资料亮点在于双维度判断方法融合，例题（如两圆相切分内外切讨论）与变式练习结合，培养逻辑推理与数学运算素养。相交问题中求公共弦方程及长度，结合几何直观与代数运算，课中助力教师分层教学，课后自主检验与反思感悟帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2．5.2　圆与圆的位置关系 学习目标 素养要求 1．理解圆与圆的位置关系． 2．掌握判断圆与圆的位置关系的代数方法与几何方法，并能进行两圆位置关系的判断. 通过对圆与圆的位置关系的判断，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点　圆与圆的位置关系 [问题1]　圆与圆的位置关系有几种？ 答：有相离(外离和内含)、相交和相切(内切和外切)三种． [问题2]　如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？ 答：设两圆的连心线长为d，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含． [问题3]　已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ＞0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ＜0时，两圆外离或内含． ►知识填空 圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1，r2 的关系 __d_＞r1＋r2__ __d＝r1＋r2__ 　|r1－r2|＜　 　d＜r1＋r2　 __d＝__ __|r1－r2|__ __d＜__ __|r1－r2|__ (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆外离．(　　) (2)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　　) (3)两圆内切或外切时，切点和两个圆的圆心共线．(　　) (4)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　) 解析：(1)×.两个圆无公共点说明两圆有可能外离，也有可能内含，故此说法是错误的． (2)√.这是代数法判定两圆的位置关系的方法． (3)√.根据两圆内切或外切性质知，此说法正确． (4)×.两圆有且只有一个公共点，则两圆不一定外切，还有可能内切，故此说法是错误的． 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　 B．相交 C．外切 D．内切 解析：选B　化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4， 则O1(1,0)，O2(0,2)， |O1O2|＝＝＜r1＋r2. 又r2－r1＜，所以两圆相交． 3．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．－5 B．－2 C．2 D．5 解析：选AC　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2. 依题意有＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0.解得m＝2或m＝－5. 4．已知⊙O1与⊙O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r＞1)，若两圆相交，则r的取值范围是________． 解析：因为圆心距d＝|O1O2|＝2，且两圆相交，所以r－1＜d＜r＋1， 即r－1＜2＜r＋1.所以1＜r＜3. 答案：(1,3) 题型一　两圆位置关系的判定 [例 1]　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解：圆C1，C2的方程，经配方后，可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1. 所以圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. 所以|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含． [反思感悟] 圆与圆位置关系的判定方法 (1)几何法 ①计算两圆的半径r1，r2； ②计算r1＋r2，|r1－r2|； ③计算两圆的圆心距d； ④比较d与r1＋r2，|r1－r2|的大小关系； ⑤给出两圆的位置关系． (2)代数法 ①联立方程得方程组； ②消元得到关于x或y的一元二次方程； ③计算判别式Δ； ④由判别式Δ＞0得两圆相交， 由判别式Δ＝0得两圆内切或外切， 由判别式Δ＜0得两圆外离或内含； ⑤给出两圆的位置关系． 　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解：将两圆的一般方程化为标准方程，得 C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 所以圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝(k＜50)． 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切； 当|－1|＝5，即＝6，k＝14时，两圆内切； 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交； 当1＋＜5或|－1|＞5， 即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离． 题型二　两圆相切问题 [例 2]　(1)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相外切，则m＝________. (2)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解析：(1)因为x2＋y2－6x－8y＋m＝0 ⇒(x－3)2＋(y－4)2＝25－m， 所以25－m＞0⇒m＜25，且圆C2的圆心为(3,4)，半径为.根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)，可得 ＝1＋⇒m＝9. 答案：9 (2)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则＝r＋1，① ＝，② ＝r.③ 联立①②③，解得a＝4，b＝0，r＝2， 或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或x2＋(y＋4)2＝36. [反思感悟] 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是说相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程． 解：设所求圆的圆心为P(a，b)． 所以 ＝1.① ①若两圆外切，则有＝1＋2＝3.② 由①②，解得a＝5，b＝－1. 所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1. ②若两圆内切，则有＝2－1＝1.③ 由①③，解得a＝3，b＝－1. 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 综上可知，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 题型三　两圆相交问题 [例 3]　已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝. 又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋， |r1－r2|＝|5－|， ∴|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2. ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. (3)法一：由(2)知，圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3. ∴公共弦长为l＝2＝2 ＝2. 法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 ∴|AB|＝ ＝2. 即公共弦长为2. [反思感悟] 1．两圆相交时，求公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，结合勾股定理求解． 圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝ 所截得的弦长为________． 解析：设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B的坐标是方程组 的解． 两式相减，得x＋y－1＝0. 因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0， 所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0， 即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0. 圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝. 由条件知r2－d2＝－＝. 所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝. 答案： [课堂小结] 1．判断两圆的位置关系的方法 (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)根据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系判断． 2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$