2.5.1 直线与圆的位置关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 学习目标 素养要求 1．掌握直线与圆的三种位置关系． 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的位置关系． 3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 1．通过研究直线与圆的位置关系，提升直观想象的核心素养． 2．通过用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 3．通过利用直线与圆的位置关系解决实际问题，提升数学建模的核心素养. [自主梳理] 知识点　直线与圆的位置关系 [问题1]　直线与圆有几种位置关系？ 答：3种，相交、相切和相离． [问题2]　怎样用几何法判断直线与圆的位置关系？ 答：利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系判断它们之间的位置关系，若d＞r，直线与圆相离；若d＝r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交． [问题3]　除了几何法还有什么方法可以判断直线与圆的位置关系？ 答：根据直线与圆的方程，用代数法可以判断． ►知识填空 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系的判断： 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __2__个 __1__个 __0__个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d__＜__r d__＝__r d__＞__r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__＞__0 Δ__＝__0 Δ__＜__0 [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)过圆外一点可作两条圆的切线．(　　) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　) (3)过半径外端的直线与圆相切．(　　) (4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(　　) 解析：(1)√.过圆外一点可作两条圆的切线． (2)√.直线被圆截，所得最长弦为直径． (3)×.过半径外端与半径垂直的直线与圆相切． (4)√.过圆内一点的直线一定与圆相交，此说法正确． 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B．相切 C．相离 D．相切或相交 答案：A 3．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C． D．无解 答案：B 4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________． 答案：4 题型一　直线与圆的位置关系的判断 [例 1]　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得 (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0，即－<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． [反思感悟] 判断直线与圆的位置关系的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点求出公共点的坐标． (1)直线：x＋y＝0，圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0； (2)直线：y＝x＋5，圆：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0； (3)直线x＋y＝3，圆：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0. 解：(1)圆的方程x2＋y2＋2x＋4y－4＝0可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝9，则圆心为(－1，－2)，半径长为3. 因为圆心到直线的距离d＝＝ ＜3， 所以直线与圆有两个公共点． 联立 消去y，得x2－x－2＝0. 解得x1＝－1，x2＝2. 所以y1＝1，y2＝－2. 所以交点为(－1,1)，(2，－2)． (2)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2， 则圆心为(－1,2)，半径长为. 因为圆心到直线的距离d＝＝， 所以直线与圆相切，有一个公共点． 联立 消去y，得x2＋4x＋4＝0. 所以x＝－2，y＝3.所以切点为(－2,3)． (3)圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1， 则圆心为(2，－1)，半径长为1. 因为圆心到直线的距离d＝＝ ＞1， 所以直线与圆相离． 题型二　直线与圆相切问题 [例 2]　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)， 即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C． 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1， 即|k＋4|＝. 所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－. 所以切线方程为－x－y＋－3＝0， 即15x＋8y－36＝0. ②若直线斜率不存在， 圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. [反思感悟] 圆的切线的求法 (1)点在圆上时： 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点在圆外时： ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． [提醒]　不要漏解切线的斜率不存在的情况． 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心C既在l上，也在直线y＝x－1上，过点A(0,3)作圆C的切线，求切线的方程． 解：联立得 解得 所以圆心C的坐标为(3,2)．设切线斜率为k， 若k不存在，不合题意； 若k存在，则切线：y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝r，即＝1.解得k＝0或k＝－. 则所求切线为y＝3或y＝－x＋3. 题型三　直线与圆的相交问题 [例 3]　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 解：法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝. 点(0,1)到直线l的距离为d＝＝， 则l＝2＝，所以截得的弦长为. 法二：设直线l与圆C交于A，B两点． 由得交点A(1,3)，B(2，0)． 所以弦AB的长为|AB|＝＝. [反思感悟] 求弦长常用的三种方法 几何 法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2求解 交点 坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝ 已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y＝x上截得弦长为2 ；③圆心在直线x－3y＝0上．求圆C的方程． 解：设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则由题意，得 解得 或 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 题型四　直线与圆的方程的实际应用问题 [例 4]　有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费到A地是到B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系， 如图所示，设A点坐标为(－5,0)，则BA点坐标为(5,0)． 在坐标平面内任取一点P(x，y)， 设从A运货到P地的运费为2a元/千米， 则从B运货到P地的运费为a元/千米． 若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a＜a， 整理得2＋y2＜2. 所以点P在圆C：2＋y2＝2的内部． 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可得圆C外的居民应在B地购物． 圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物． [反思感悟] 解决直线与圆的方程的实际问题的一般步骤 (1)认真审题，明确题意； (2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程； (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； (4)把代数结果还原为实际问题的解． [提醒]　在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围． 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受到影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 解：以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．取10 km为单位长度，则受到台风影响的圆形区域所对应的圆O的方程为x2＋y2＝9.又港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 则轮船航线所在直线的方程为＋＝1， 即4x＋7y－28＝0. 因为圆心O(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离为d＝＝＞3，所以直线4x＋7y－28＝0与圆O相离，即轮船不会受到台风的影响． [课堂小结] 1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是判断直线与圆的位置关系． 2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是对圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是求出直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算． 3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解． 4．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识．用坐标法解决平面几何问题的思维过程： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$