2.4.1 圆的标准方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 学习目标 素养要求 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特点． 2．会根据已知条件求圆的标准方程． 3．能准确判断点与圆的位置关系. 1．通过对圆的标准方程的推导，提升直观想象、逻辑推理的核心素养． 2．通过求圆的标准方程，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点　圆的标准方程 [问题1]　圆的定义是什么？ 答：平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点是圆心，定长为半径． [问题2]　圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素是什么？各要素与圆有怎样的关系？ 答：圆心和半径．圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小． [问题3]　设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径长为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是什么？ 答：|MA|＝r. [问题4]　如果把圆看成是点的集合，M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆心为A的圆如何表示？ 答：P＝{M||MA|＝r}． [问题5]　用坐标表示点M适合的条件并化简能够得到什么等式？ 答：　(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ►知识填空 1．圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：__(x－a)2＋(y－b)2＝r2__. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是__x2＋y2＝r2__. 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则： 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |AM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |AM|＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 |AM|＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．(　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，半径长是2.(　　) (4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 解析：(1)√.确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)×.当m＝0时，不表示圆． (3)×.圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(－1,1)，半径是. (4)×.因为(0－1)2＋(0－2)2＞1，所以点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外． 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．圆心为(－2,3)，半径长为2的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝2 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 答案：B 3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足(　　) A．是圆心　　　　　　 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 答案：C 4．圆(x＋1)2＋(y－)2＝a2(a≠0)的圆心为________，半径长为________． 解析：由圆的标准方程知，圆心为(－1，)，半径r＝|a|. 答案：(－1，)　|a| 5．圆心为C(1，－5)，且经过原点的圆的方程是________________． 解析：由条件知，r2＝12＋(－5)2＝26.故圆的方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝26. 答案：(x－1)2＋(y＋5)2＝26 题型一　用直接法求圆的标准方程 [例 1]　写出下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)； (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为. 解：(1)设圆的半径为r(r＞0)， 则r2＝(5－4)2＋(2＋1)2＝10. 故圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)圆心是两直线的交点， 解方程组得 所以圆心为.又因为半径长为， 所以圆的标准方程为2＋2＝. [反思感悟] 用直接法求圆的标准方程的策略 (1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等． [提醒]　当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系． 与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________． 解析：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5. ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 题型二　用待定系数法求圆的标准方程 [例 2]　已知圆过点A(1，－1)，B(－1,1)，求圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由已知条件，得 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：设点C为圆心， ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴ ＝. 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知，可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1. 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1. 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点． 由得即圆心坐标为(1,1)． 所以圆的半径为＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. [反思感悟] 用待定系数法求圆的标准方程的步骤 (一题多解)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，求△ABC的外接圆的方程． 解：法一(待定系数法)： 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. 法二(几何法)： 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°.所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝.所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. 题型三　点和圆位置关系的判断 [例 3]　已知两点P1(4,9)和P2(6,3)． (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上、在圆内，还是在圆外． 解：(1)设圆心C(a，b)，半径长为r， 则由C为P1P2的中点， 得a＝＝5，b＝＝6. 又由两点间的距离公式，得 r＝|CP1|＝＝. 故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)由(1)知，圆心C为(5,6)，则分别计算点到圆心的距离： |CM|＝＝， |CN|＝＝＞， |CQ|＝＝3＜. 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． [反思感悟] 判断点与圆的位置关系的方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2； 点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. 以原点为圆心，且过点(3，－4)的圆的标准方程是__________，那么点(2，3)与圆的位置是在圆________(选填“内”“上”“外”)． 解析：由题意知，r＝＝5. ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25. 将P(2，3)代入方程，得(2)2＋32＝21＜25. ∴P(2，3)在圆内． 答案：x2＋y2＝25　内 [课堂小结] 1．求圆的标准方程的常用方法 (1)利用待定系数法确定a，b，r. (2)利用几何条件确定圆心坐标与半径． 2．求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直． 3．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$