2.3.1 两条直线的交点坐标&2.3.2 两点间的距离公式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 2．3.2　两点间的距离公式 学习目标 素养要求 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标并能判定两条直线的位置关系． 2．掌握两点间的距离公式及其应用． 3．会运用坐标法证明简单的几何问题. 1．通过求两直线的交点坐标及判断两直线的位置关系，提升数学运算的核心素养． 2．通过两点间的距离公式及坐标法的应用，培养逻辑推理和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　两条直线的交点坐标 [问题1]　直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么关系？ 答：直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上点的坐标是其方程的解．反之，直线方程的每一个解都表示直线上点的坐标． [问题2]　两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0应具备怎样的条件才能相交？ 答：A1B2－A2B1≠0. [问题3]　若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，如何求这两条直线的交点坐标？ 答：只需写出这两条直线的方程，然后联立求解即可． ►知识填空 两条直线的交点问题 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： 方程组的解 一组 无数组 无解 两条直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 __相交__ __重合__ __平行__ 知识点二　两点间的距离公式 已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， [问题1]　当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？ 答：|P1P2|＝|x2－x1|. [问题2]　当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？ 答：|P1P2|＝|y2－y1|. [问题3]　如图，在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，过P1，P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M1(x1,0)，M2(x2,0)，N1(0，y1)，N2(0，y2)，直线P1N1与P2M2相交于点Q，|P1Q|，|QP2|分别是多少？ 答：　因为|P1Q|＝|M1M2|，|QP2|＝|N1N2|，所以|P1Q|＝|x2－x1|，|QP2|＝|y2－y1|.　 [问题4]　结合问题3，如何求|P1P2|? 答：　在直角△P1QP2中，利用勾股定理，得到|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2.由此得到|P1P2|＝　. [问题5]　向量的模的几何意义是什么？ 答：表示P1P2的距离．　 ►知识填空 两点间的距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝　　. (2)两点间距离的特殊情况： ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝__|x2－x1|__. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝__|y2－y1|__. [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若点A(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A＝B．(　　) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) (3)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．(　　) (4)已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|.(　　) 解析：(1)√.若点A(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A－B＝0，所以A＝B． (2)×.当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合． (3)× (4)√.因为x2＝x1，所以|P1P2|＝＝＝|y2－y1|. 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3,2)　　　　　　 B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 解析：选B　解方程组得所以两条直线的交点坐标为(2,3)． 3．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　) A．5 B． C． D．4 解析：选A　|MN|＝＝5. 4．(多选)已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1　 B．－1 C．5 D．－5 解析：选AD　由两点间距离公式，得 (－2－a)2＋(－1－3)2＝52. 所以(a＋2)2＝32.所以a＋2＝±3， 即a＝1或a＝－5. 题型一　求两条直线的交点坐标 [例 1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点，若不相交，说明它们的位置关系． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. [反思感悟] 求两直线的交点坐标的方法及注意事项 (1)方法：联立这两条直线的方程组成方程组，这个方程组的解对应的实数对即为两条直线的交点坐标． (2)注意事项：解题过程中注意对其中的参数进行分类讨论． 1．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0　　　　　　 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 解析：选B　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0.因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线l的方程为2x－y＝0. 2．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值． 解：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为(4，－2)． 由题意知，点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上．将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0.解得a＝－. 题型二　两点间的距离公式及应用 [例 2]　已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上． (1)求AB边上的高CE所在直线的方程； (2)求△ABC的面积． 解：(1)由题意可知，E为AB的中点， kAB＝＝－1. 所以E(3,2)，且kCE＝－＝1. 所以CE所在直线的方程为y－2＝x－3， 即x－y－1＝0. (2)由得 所以C的坐标(4,3)． 又因为A(2,3)，B(4,1)， 所以|EC|＝＝， |AB|＝＝2. 所以S△ABC＝|AB|·|EC|＝2. [反思感悟] 利用两点间的距离公式求参数的方法及技巧 (1)方法：常用待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，然后利用方程的思想求解参数． (2)技巧：解决此类问题时，常常需要结合图形来直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系，然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题． 1．(变条件)把本例三角形所满足的条件改为“A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)”，试判断此三角形的形状，并求其面积． 解：法一：因为|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|. 所以△ABC是等腰直角三角形． ∴S△ABC＝|AC|·|AB|＝×2×2＝26. 法二：因为kAC＝＝， kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1. 所以AC⊥AB． 又|AC|＝ ＝2， |AB|＝＝2， 所以|AC|＝|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形． 所以S△ABC＝|AC|·|AB|＝×2×2＝26. 2．若等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长． 解析：由题意知，|AD|＝＝2. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得|AB|＝＝＝2. 所以等腰△ABC的腰长为2. 题型三　用坐标法解决平面几何问题 [例 3]　已知在△ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． 证明：以边BC所在直线为x轴，以D为原点建立坐标系，如图所示． 设A(b，c)，C(a,0)， 则B(－a,0)． ∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2， |DC|2＝a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2. ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． [反思感悟] 利用坐标法解决平面几何问题的步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值． 解：以正三角形的一边所在直线为x轴，此边中线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 则A，B，C. 设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝2＋y2＋2＋y2＋x2＋2＝3x2＋3y2－ay＋a2 ＝3x2＋32＋a2. ∴当P的坐标为时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2. [课堂小结] 1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)． 2．坐标法又称为解析法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法． 3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$