2.2.2 直线的两点式方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．2.2　直线的两点式方程 学习目标 素养要求 1．掌握直线方程两点式和截距式的形式、特点及适用范围． 2．能选择适当的形式求直线方程. 1．通过对直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的核心素养． 2．通过直线的两点式方程和截距式方程的应用，培养直观想象和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　直线的两点式方程 观察如图所示的直线l，思考下列问题： [问题1]　直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)两点，那么直线l的点斜式方程是什么？ 答：由x1≠x2，得所求直线的斜率为k＝.则直线的点斜式方程为y－y1＝(x－x1)． [问题2]　方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)能否写成＝？ 答：当y1≠y2时，可以写成该形式；当y1＝y2时，不能写成该形式． [问题3]　过点(1,3)，(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答：不能，因为1－1＝0，而0不能作分母，过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． ►知识填空 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 　＝　 适用条件 斜率存在且不为零 知识点二　直线的截距式方程 [问题1]　若直线l经过点A(a,0)与点B(0，b)，则直线l的两点式方程是什么？ 答：当a≠0且b≠0时，直线l的两点式方程为＝，即＋＝1. [问题2]　过点(5,0)和(0,7)的直线能用＋＝1表示吗？ 答：能． ►知识填空 直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式 　＋＝1　 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程＝表示．(　　) (2)在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1.(　　) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　　) 解析：(1)×.当x1＝x2或y1＝y2时，直线不能用方程＝表示． (2)×.当a＝0或b＝0时，在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线不能用方程＋＝1表示． (3)√.直线的截距式方程就是直线过(a,0)，(0，b)两点的直线的两点式方程的简化形式． (4)√.直线y＝x与坐标轴的交点为(0,0)，故在x轴和y轴上的截距均为0. 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．经过点A(－3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为(　　) A．＝　　 B．＝ C．＝ D．＝ 解析：选A　由方程的两点式，可得直线方程为＝，即＝. 3．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选C　因为由经过的点的坐标知直线在x轴、y轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1，即－＝1. 4．直线－＝1在y轴上的截距是________． 答案：－b2 题型一　直线的两点式方程 [例 1]　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________； (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. 解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程．所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式，得 ＝，即＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2. ∵点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. 答案：(1)x＝2　(2)－2 [反思感悟] 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴。若满足，则考虑用两点式求方程． 过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________． 解析：由题意知，直线过点(2,0)．又直线过点(1,3)， 由两点式，可得 ＝.整理得3x＋y－6＝0. 答案：3x＋y－6＝0 题型二　直线的截距式方程 [例 2]　直线l过点(－3,3)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． 解析：由题意设直线l的方程为＋＝1， 则a＋b＝12.① 又直线l过点(－3,3)，所以＋＝1.② 联立①②，解得或 故所求的直线方程为 ＋＝1或＋＝1. [反思感悟] 应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解：法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x， 即2x－5y＝0. ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为＋＝1，即x－y＝a. 又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，即a＝3. ∴l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. 法二：由题意知，直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)， 则当x＝0时，y＝2－5k；y＝0时，x＝5－. 根据题意，得2－5k＝－.解方程得k＝或1. 当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)， 即2x－5y＝0； 当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)， 即x－y－3＝0. 题型三　直线方程形式的灵活应用 [例 3]　在△ABC中，已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求AB边上的高所在直线的方程． 解：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0. 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3. 所以M. 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝， 即10x＋11y＋8＝0. 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. (3)设AB边上的高所在直线的斜率为k. ∵kAB＝＝－，∴k＝. 又高过点C(0，－2)， ∴由点斜式方程，得高所在直线方程为y＋2＝(x－0)，即4x－3y－6＝0. [反思感悟] 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 已知在平面直角坐标系中的两点A(8，－6)，B(2,2)． (1)求线段AB的中垂线的方程； (2)求以向量为方向向量且过点P(2，－3)的直线l的方程； 解：(1)易知线段AB的中点的坐标为(5，－2)． ∵kAB＝＝－，∴线段AB的中垂线的斜率为. ∴由直线的点斜式方程，可得线段AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5)，即y＝x－. (2)由已知，得＝(－6,8)．则直线l的斜率为－. 由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，即y＝－x－. [课堂小结] 1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式． 2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，当直线过原点时两截距存在且同时等于零． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$