1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 学习目标 素养要求 1．会用空间向量法求线线、线面、面面的夹角． 2．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系. 通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　用空间向量求两条异面直线所成的角 [问题1]　怎样求两条异面直线所成的角？ 答：(1)平移法；(2)向量法． [问题2]　两条异面直线所成的角和两条异面直线方向向量夹角有什么区别？ 答：　两条异面直线所成的角为锐角或直角，而两向量夹角的范围是[0，π]，两条异面直线所成的角与它们的方向向量的夹角相等或互补． ►知识填空 两条异面直线所成的角 设两条异面直线l1，l2所成的角为θ，它们的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 知识点二　用空间向量求直线与平面所成的角 [问题1]　直线和平面所成角的范围是什么？ 答：直线和平面所成角的范围是[0°，90°]；若直线和平面斜交，则所成的角为锐角． [问题2]　当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 答：不一定，这条直线还可能与平面平行． [问题3]　直线与平面所成的角θ和直线方向向量u与平面法向量n的夹角有什么关系？ 答：直线方向向量与平面法向量所夹的锐角α和直线与平面所成的角θ互为余角，即θ＝－α. ►知识填空 直线与平面所成的角 　如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 知识点三　用空间向量求两个平面的夹角 [问题1]　二面角的平面角的取值范围是多少？ 答：[0，π]． [问题2]　两个平面相交，可以组成几个二面角？ 答：4个． ►知识填空 两个平面的夹角 平面α和平面β相交，形成四个二面角，把其中不大于90°的二面角称为平面α和平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　) (2)直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的法向量所成的角．(　　) (3)两平面的夹角就是两个平面的法向量所成的角．(　　) 解析：(1)×.两条异面直线所成的角的范围是，其余弦值非负． (2)×.直线与平面所成的角的余角等于直线的方向向量与平面的法向量所成的角或其补角． (3)×.两平面的夹角与两个平面的法向量所成的角相等或互补． 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)若直线l1与l2这两条异面直线所成的角等于30°，则直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角等于(　　) A．30°　　　　　　　　　　 B．150° C．60° D．120° 答案：AB 3．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选A　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°. 4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 答案：C 题型一　求两条异面直线所成的角 [例 1]　已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：选C　以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)． 所以＝(1,0，－1)，＝(1，－，－1)． 所以cos〈，〉＝ ＝＝. 所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为. [反思感悟] 用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角． 如图所示，在三棱锥V ­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 解：由于AC＝BC＝2，D是AB的中点， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 在Rt△VCD中，CD＝，当θ＝时， VC＝， ∴V(0,0，)． ∴＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)． ∴cos〈，〉＝＝＝－. ∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 题型二　求直线与平面所成的角 [例 2]　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD． (1)证明：AB⊥PM； (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值． 解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，由已知可得CD＝AB＝1， CM＝BC＝2，∠DCM＝60°. ∴由余弦定理，可得DM2＝CD2＋CM2－2CD×CM×cos 60° ＝1＋4－2×1×2×＝3. 则CD2＋DM2＝1＋3＝4＝CM2， 即CD⊥DM. 又PD⊥DC，PD∩DM＝D， ∴CD⊥平面PDM. 而PM⊂平面PDM，∴CD⊥PM. ∵CD∥AB，∴AB⊥PM. (2)由(1)知，CD⊥平面PDM. 又CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PDM， 且平面ABCD∩平面PDM＝DM. ∵PM⊥MD，且PM⊂平面PDM， ∴PM⊥平面ABCD． 连接AM，则PM⊥AM， 在△ABM中，AB＝1，BM＝2，∠ABM＝120°， 可得AM2＝1＋4－2×1×2×＝7. 又PA＝，在Rt△PMA中，求得PM＝＝2. 取AD中点E，连接ME，则ME∥CD．可得ME，MD，MP两两互相垂直． 以M为坐标原点，以MD，ME，MP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则A(－，2,0)，P(0,0,2)，C(，－1,0)． 又N为PC的中点，∴N. 所以＝. 易知平面PDM的一个法向量为n＝(0,1,0)． 设直线AN与平面PDM所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝ ＝. 故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为. [反思感悟] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)求平面的法向量n； (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝. 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值． 解：(1)证明：由已知，可得BF⊥PF， BF⊥EF. 又PF∩EF＝F， 所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD， 所以平面PEF⊥平面ABFD． (2)如图，作PH⊥EF，垂足为H. 由(1)知，PH⊥平面ABFD． 以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz. 由(1)，可得DE⊥PE. 又因为DP＝2，DE＝1， 所以PE＝. 又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF. 所以PH＝，EH＝. 则H(0,0,0)，P，D，＝， ＝. 又为平面ABFD的一个法向量， 设DP与平面ABFD所成角为θ， 则sin θ＝＝＝. 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为. 题型三　求两个平面的夹角 [例 3]　如图所示，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1B1O与平面DB1O的夹角的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1⊥AC，DD1⊥BD． 又CC1∥DD1∥OO1， 所以OO1⊥AC，OO1⊥BD． 因为AC∩BD＝O， 所以O1O⊥底面ABCD． (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD．又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°， 所以OB＝，OC＝1. 所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)． 易知平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)． 设平面C1B1O的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则由m⊥，m⊥，得 取z＝－，得x＝2，y＝2. 所以m＝(2,2，－)． 所以|cos〈m，n〉|＝＝＝. 所以平面C1B1O与平面DB1O的夹角的余弦值为. [反思感悟] 用向量法求两个平面的夹角，可以转化为计算两个半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下： (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角； (4)确定两个平面的夹角的大小． 　如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点． (1)设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AEG与平面ACG的夹角的大小． 解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE， AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A， 所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. (2)以B为坐标原点，以BE，BP，BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)． 故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)， ＝(2,0,3)． 设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量， 则由 可得 取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量， 则由 可得 取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)． 所以cos 〈m，n〉＝ ＝ ＝. 故平面AEG与平面ACG的夹角为60°. [课堂小结] 利用空间向量求角的基本思路 把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$