1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 学习目标 素养要求 1．掌握利用空间向量求点、线、面间的距离公式和推导方法． 2．会用空间向量解决有关距离的问题. 通过利用空间向量求点、线、面间距离的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　用向量法求点到直线的距离 [问题1]　空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，应如何用向量方法求它们之间的距离？ 答：P1P2＝||＝. [问题2]　如何求直线外一点P到直线l的距离？ 答：我们可以由点P向直线l作垂线，得垂足Q，则PQ的长度即为点P到直线l的距离． [问题3]　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，能否利用这些条件求点P到直线l的距离？ 答：能．如图所示， 　向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形．因为A，P都是定点，所以||，与u的夹角∠PAQ都是确定的．于是可求||.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ. [问题4]　如何求两条平行直线间的距离？ 答：从其中一条直线上取点P，然后求点P到另一条直线的距离即可． ►知识填空 1．点P到直线l的距离 d＝＝.(已知u为直线l的单位方向向量，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a) 2．两平行直线a，b 之间的距离 d＝.(A∈a，P∈b，u为直线a的单位方向向量) 知识点二　用向量法求点到平面的距离 [问题1]　点到平面的距离是如何定义的？ 答：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离． [问题2]　如图所示，已知平面α的法向量为 n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．应如何求点P到平面α的距离？ 答：过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． [问题3]　能否将线面距离及两平行平面的距离转化为点到平面的距离？ 答：能．直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离，两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离． ►知识填空 1．平面外一点P到平面α的距离 d＝，其中A∈α，n为平面α的法向量． 2．平行于平面α的直线l与平面α之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈l，n是平面α的法向量． 3．两平行平面α，β之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α的法向量． [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)两平行平面之间的距离就是一个平面内任意一点到另一个平面的距离．(　　) (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　) (3)l1与l2是异面直线，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则||的最小值就是l1与l2的距离．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A．　　　　　　 B．2 C． D． 解析：选D　由题意得＝(＋)＝，＝－＝， ||＝＝. 3．已知空间两点A，B的坐标分别为(1，－1,1)，(2,2，－2)，则A，B两点的距离为________． 答案： 4．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________． 答案：5 题型一　点到直线的距离 [例 1]　在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D ­xyz，如图． 则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)． 所以＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)． ∴||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1 ＝－1. ∴在上的投影为＝ . ∴点A到直线EF的距离 d＝＝＝. [反思感悟] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)求所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)代入点到直线的距离公式求距离． 已知在长方体ABCD ­A′B′C′D′中，AB＝1，BC＝1，AA′＝2，求点B到直线A′C的距离． 解：建立空间直角坐标系，如图所示． 因为AB＝1，BC＝1，AA′＝2， 所以A′(0,0,2)，C(1,1,0)，B(1,0,0)． 所以＝(1,1，－2)，＝(0,1,0)． 则在上的投影为 ＝＝. 所以点B到直线A′C的距离为 d＝＝ ＝＝. 题型二　点到平面的距离 [例 2]　已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解：(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E，F. 所以＝，＝. 设平面PEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，且n·＝0， 所以 令x＝2，则y＝2，z＝3.所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝＝＝. (2)因为AC∥平面PEF，所以点A到平面PEF的距离即为AC到平面PEF的距离． 因为＝ ，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝ ＝ . 所以AC到平面PEF的距离为 . [反思感悟] 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求出该平面的一个法向量； (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量； (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求直线BD到平面EFG的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz， 则G(0,0,2)，E(4，－2,0)，F(2，－4,0)，B(4，0,0)． ∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)， ＝(0，－2,0)． ∵BD∥平面EFG，∴点B到平面EFG的距离即为直线BD到平面EFG的距离． 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)． 由 得 ∴x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，得n＝(－1,1，－3)． ∴直线BD到平面EFG的距离d＝＝ ＝ . 题型三　两个平行平面间的距离 [例 3]　如图所示，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，侧棱AA1＝3，底面边长AB＝2，E，F分别为棱BC，B1C1的中点． (1)求证：平面BD1F∥平面C1DE； (2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离． 解：(1)证明：如图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,3)，C1(0,2,3)，B1(2,2,3)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(1，2,3)． 所以＝(1,2,0)，＝(1,2,0)． 所以∥.所以D1F∥DE. 又因为DE⊂平面C1DE， 所以D1F∥平面C1DE， 又因为＝(－1,0,3)，＝(－1,0,3)， 所以∥.所以BF∥EC1. 又因为EC1⊂平面C1DE，所以BF∥平面C1DE. 因为D1F∩BF＝F，所以平面BD1F∥平面C1DE. (2)由(1)可知，平面BD1F与平面C1DE间的距离等于D1到平面C1DE的距离． 设平面C1DE的一个法向量为n＝(x，y，z)． 由得 解得令x＝6，得n＝(6，－3,2)． 所以D1到平面C1DE的距离 d＝＝＝. 所以平面BD1F与平面C1DE间的距离为. [反思感悟] 平面α平行于平面β，则α，β之间的距离就是α内任一点到β的距离，所以求两平行平面间的距离，可根据定义转化为点到平面的距离求解． 已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 解：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)． 所以＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)． 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，得y＝1，x＝－1.∴n＝(－1,1,1)． ∴点D1到平面A1BD的距离 d＝＝＝. ∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. [课堂小结] 1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得． 2．点到平面的距离可利用向量在平面的法向量上的投影求得，直线到平面的距离、两平行平面间的距离实质上都是求点到面的距离，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$