1.4.1 第2课时 空间向量与垂直关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　空间向量与垂直关系 学习目标 素养要求 1．能利用平面的法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系. 借助应用空间向量证明线面垂直和面面垂直的探究，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点　空间向量与垂直关系 [问题1]　两条直线互相垂直，它们的方向向量满足什么关系？ 答：垂直． [问题2]　若一条直线和一个平面垂直，那么直线的方向向量和平面的法向量满足什么关系？ 答：平行． [问题3]　若两个平面垂直，那么它们的法向量满足什么关系？ 答：垂直． [问题4]　若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？ 答：垂直． ►知识填空 空间中垂直关系的向量表示 线线 垂直 设直线l1的方向向量为u1＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为u2＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u1·u2＝0⇔__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__ 线面 垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，u＝λn⇔　(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)　 面面 垂直 若平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔__a1a2＋b1b2＋c1c2＝0__ [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直．(　　) (2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行．(　　) (3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直．(　　) 解析：(1)√.根据直线的方向向量和线线垂直的定义，该判断正确． (2)√.根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义，该判断正确． (3)√.根据平面的法向量的定义和面面垂直的定义，该判断正确． 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(－3,6，－9)，则(　　) A．l⊂α　　　　　　　　 B．l∥α C．l⊥α D．l与α相交 解析：选C　直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(－3,6，－9)， ∴a＝－n， ∴a∥n. ∴l⊥α.故选C． 3．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．则下列结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的法向量 D．∥ 解析：选ABC　∵·＝0，·＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A、B正确； 又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则C正确；由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故D错误． 4．已知α⊥β，平面α与平面β的法向量分别为m，n，且m＝(1，－2,5)，n＝(－3,6，z)，则z＝________. 解析：因为α⊥β，且平面α与平面β的法向量分别为m，n，所以m·n＝(1，－2,5)·(－3,6，z)＝－3－12＋5z＝0.解得z＝3. 答案：3 题型一　用空间向量解决线线垂直问题 [例 1]　已知正三棱柱ABC ­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 证明：如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，，的方向分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1，M，N. 所以＝，＝. 所以·＝－＋＋＝0. 所以⊥，即AB1⊥MN. [反思感悟] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求出直线的方向向量． 如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 证明：以A为原点、以AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0，1,0)，C(a,1,0)．于是F. ∵E在BC上，∴设E(m,1,0)． ∴＝(m,1，－1)，＝. ∵·＝0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF. 题型二　用空间向量解决线面垂直问题 [例 2]　如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD． 证明：法一：如图取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)． ∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)． 而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0. ∴⊥，⊥， 即OA1⊥OB，OA1⊥BG. 而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD． 法二：同证法一建立空间直角坐标系后，设平面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得z＝2，y＝－1. ∴平面GBD的一个法向量为n＝(1，－1,2)． 显然＝(－1,1，－2)＝－n. ∴∥n，∴A1O⊥平面GBD． [反思感悟] 利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 1．已知长方体ABCD ­A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则＝________. 解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝a，AA1＝c，则A(a,0,0)，E， D(0,0,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，c)，O. 所以＝，＝(a，a,0)， ＝. 因为OA⊥平面BDE， 所以 解得c＝a.所以＝＝. 答案： 2．(变条件、变结论)若本例中正方体不变，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC． 证明：法一：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)． ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC． 又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC． 法二：设＝a，＝c，＝b， 则＝＋＝(＋) ＝(＋)＝(＋－) ＝(－a＋b＋c)． ∵＝＋＝a＋b， ∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. ∴⊥，即EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C． 又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC． 题型三　用空间向量解决面面垂直问题 [例 3]　在四棱锥S ­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD． 证明：由题意可知，AB，AD，AS两两垂直．故以AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AS＝AB＝1. 法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0,0,1)，＝.∴＝.∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD． 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD． 法二：设平面BDE的一个法向量为n1＝(x，y，z)． 易知＝(－1,1,0)，＝. ∴即 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)． ∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)． ∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD． [反思感悟] 利用空间向量证明面面垂直的两种方法 (1)证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即将问题转化为线面垂直； (2)证明两平面的法向量垂直． 在正棱锥P ­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：平面EFG⊥平面PBC． 证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 令PA＝PB＝PC＝3， 则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0，1,0)，G(1，1,0)，P(0,0,0)． 于是＝(3,0,0)，＝(1,0,0)． 故＝3.∴PA∥FG. 而PA⊥平面PBC， ∴FG⊥平面PBC． 又FG⊂平面EFG， ∴平面EFG⊥平面PBC． 法二：同法一建立空间直角坐标系，则E(0，2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥，∴ 令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)． 显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量． 又n·＝0，∴n⊥， 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直． ∴平面EFG⊥平面PBC． [课堂小结] 几何法 向量法 线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°； (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直 线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α， (1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，则l⊥α； (2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直； (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 面面 垂直 对于直线l，m和平面α，β， (1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β； (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β； (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$