1.4.1 第1课时 空间向量与平行关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间向量与平行关系 学习目标 素养要求 1．掌握空间中点、线、面的向量表示． 2．掌握平面的法向量的概念，并会用待定系数法求平面的法向量． 3．熟练掌握用方向向量、法向量证明空间中的平行关系. 1．通过对空间中点、线、面的向量表示的学习，培养数学抽象、直观想象的核心素养． 2．通过借助空间向量探究平行关系，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示 [问题1]　空间直角坐标系中的点和坐标有什么关系？ 答：一一对应． [问题2]　直线的方向向量能确定直线吗？ 答：不能． [问题3]　直线的方向向量唯一吗？ 答：不唯一．　 ►知识填空 1．用向量表示点的位置 基点 在空间中，我们取__一定点O__作为基点 向量 表示 空间中任意一点P的位置可以用　向量　来表示 点的位 置向量 点P的位置向量为向量 2．用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的__方向向量__) 形式 在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t 取定空间中的任意一点O，对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝＋ta＝＋t 作用 定位置 点A和向量a可以确定直线l的位置 定点 可以具体表示出l上任意一点 3．用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定. 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb 取定空间中的任意一点O，存在实数x，y，使＝＋x＋y (2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定. 平面的 法向量 直线l⊥α，直线l的　方向向量a　，叫做平面α的法向量 确定平面的位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的，可以表示为集合{P|a·＝0} 知识点二　空间中直线、平面的平行 [问题1]　若两条直线平行，则它们的方向向量有什么关系？ 答：平行． [问题2]　若一条直线与一个平面平行，则直线的方向向量和平面的法向量有什么关系？ 答：垂直． [问题3]　若两个平面平行，则它们的法向量有什么关系？ 答：平行． ►知识填空 空间中平行关系的向量表示 　设直线l，l1，l2的方向向量分别为u，u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则： 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔　∃λ∈R，u1＝λu2　 线面平行 l∥α⇔　u⊥n1　⇔　u·n1＝0　 面面平行 α∥β⇔　n1∥n2　⇔　∃λ∈R，n1＝λn2　 [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　) (2)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行．(　　) (3)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(　　) (4)如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．(　　) 解析：(1)×.两直线可能重合． (2)×.直线可能在平面内． (3)√.根据平面法向量的定义可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量是正确的． (4)×.当a，b共线时，n不是平面α的一个法向量． 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3,1)　　　　 B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 答案：D 3．已知a＝，b＝分别是直线l1，l2的一个方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝3，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝3，y＝ 答案：D 4．若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________． 解析：因为u·n＝(－1,2，－3)·(4，－1，－2)＝0，所以u⊥n.所以直线与平面平行，即l∥β. 答案：平行 题型一　线、面位置关系的判定 [例 1]　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)， v＝(－3，－9,0)； (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)． 解：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)， ∴a·b＝8－6－2＝0.∴a⊥b，即l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u. ∴v∥u，即α∥β. (3)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)， ∴a·u＝－3＋4－1＝0. ∴a⊥u，即l⊂α或l∥α. [反思感悟] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．　　 (3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1,4)，b＝(6,3,3)； (2)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1,2)，v＝； (3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)． 解：(1)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)， ∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)． ∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面． (2)∵u＝(1，－1,2)，v＝ ， ∴u·v＝3－2－1＝0.∴u⊥v，即α⊥β. (3)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)， ∴u＝－ a．∴u∥a，即l⊥α. 题型二　求平面的法向量 [例 2]　如图所示，在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． 解：如图所示建立空间直角坐标系．依题意，可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)． 于是＝，＝(1,1,0)． 设平面EDB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥. 于是 取x＝1，得y＝－1，z＝1. 故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)． [反思感悟] 利用待定系数法求平面的法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A­xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． 解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)． ∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量． 设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0. ∴y＝－.又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝. ∴n＝为平面SCD的一个法向量． 题型三　利用空间向量证明平行关系 [例 3]　在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点． 求证：(1)MN∥平面A1BD； (2)平面A1BD∥平面CB1D1. 证明：(1)法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N.于是＝(1,0,1)，＝(1,1，0)，＝. 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即 取x＝1，得y＝－1，z＝－1. ∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n.∴MN∥平面A1BD． 法二：∵＝－＝－ ＝(－)＝，∴∥. ∴MN∥平面A1BD． 法三：因为＝－＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－， 即可用与线性表示，故与，是共面向量．故MN∥平面A1BD． (2)由(1)知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)． 则＝(0，－1,1)，＝(1,1,0)． 设平面CB1D1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)． 又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 所以m＝－n.所以m∥n. 故平面A1BD∥平面CB1D1. [反思感悟] 利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． 　在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFBD． 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N，E，F(1,3,4)． ∴＝，＝， ＝(－1,0,4)，＝(－1,0,4)． ∴＝，＝. ∴MN∥EF.AM∥BF. 又∵EF∩BF＝F，∴MN∥平面EFBD， AM∥平面EFBD． 又MN∩AM＝M， ∴平面AMN∥平面EFBD． [课堂小结] 1．直线的方向向量、平面的法向量 直线l的方向向量与平面α的法向量一定是非零向量，一条直线所有的方向向量以及一个平面的所有法向量都是共线向量． 2．利用向量研究空间位置关系三步曲 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量或平面的法向量； (3)利用向量的位置关系判断(证明)空间线线、线面、面面位置关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$