1.3.2 空间向量运算的坐标表示（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 学习目标 素养要求 1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直． 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体中的问题. 1．通过对空间向量的坐标运算、空间向量夹角及长度的探究，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算和直观想象的核心素养. [自主梳理] 知识点　空间向量运算的坐标表示 [问题1]　设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？ 答：m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2. [问题2]　已知非零向量a，b，c分别平行于x轴、y轴、z轴，它们的坐标各有什么特点？ 答：向量a的横坐标不为0，其余均为零；向量b的纵坐标不为0，其余均为0；向量c的竖坐标不为零，其余均为0. ►知识填空 1．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__ 减法 a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__ 数乘 λa＝　(λa1，λa2，λa3)，λ∈R　 数量积 a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__ 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则： 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__ (a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 3．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则： (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝||＝　　. [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔＝＝.(　　) (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则〈a，b〉是钝角⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＜0.(　　) (3)把向量a＝(x，y，z)平移后其坐标不变．(　　) 解析：(1)×.当b的三个坐标都不为0时，a∥b⇔＝＝才成立，否则有些分式无意义． (2)×.当a1b1＋a2b2＋a3b3＜0时，〈a，b〉可能等于180°. (3)√.向量平移后，起点和终点坐标会发生变化，但对应坐标的差，即向量的坐标不变． 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－2) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 答案：AD 3．与向量m＝(0,1，－2)共线的向量是(　　) A．(2,0，－4)　　　　 B．(3,6，－12) C．(1,1，－2) D． 答案：D 4．已知a＝(2,1,3)，b＝(－4,5，x)，若a⊥b，则x＝________. 答案：1 5．已知A点的坐标是(－1，－2,6)，B点的坐标是(1,2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是________． 答案：π 题型一　空间向量的坐标运算 [例 1]　已知O是坐标原点，点A(2,0，－2)，B(3,1,2)，C(2，－1，7)． (1)若点P满足＝2－3，则点P的坐标为________； (2)若点P满足＝2－，则点P的坐标为________． 解析：＝(1,1,4)，＝(0，－1,9)． (1)因为＝2－3＝2(1,1,4)－3(0，－1,9)＝(2,5，－19)， 所以点P的坐标为(2,5，－19)． (2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y，z＋2)． 因为＝2－， 所以(x－2，y，z＋2)＝2(1,1,4)－(0，－1,9)＝(2,3，－1)， 所以x－2＝2，y＝3，z＋2＝－1， 即x＝4，y＝3，z＝－3， 所以点P的坐标为(4,3，－3)． 答案：(1)(2,5，－19)　(2)(4,3，－3) [反思感悟] 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量的坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 　已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝. 求：(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)． 解：因为A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)． (1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6) ＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6) ＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2 ＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26. 题型二　空间向量的平行与垂直 [例 2]　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 解：(1)因为＝(－2，－1,2)且c∥， 所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． 所以|c|＝＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1. 所以c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以ka＋b＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. [反思感悟] 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直或平行转化为向量的垂直或平行． (2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． 1．(变条件)将本例(2)中“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． 解：因为a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， 所以ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2) ＝(k－1，k,2)． a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k) ＝(1－k,1,2k)． 因为ka＋b与a＋kb平行， 所以ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)． 所以 解得或 2．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，证明：CE⊥BD． 证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1， 则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E. ∴＝，＝(－1，－1,0)． ∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0， ∴CE⊥BD． 题型三　利用空间向量解决夹角、距离问题 [例 3]　在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求EF与C1G所成角的余弦值； (2)求FH的长． 解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系， 则有E，F，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G. ∴＝－＝， ＝－(0,1,1)＝. ∴||＝，||＝. 又·＝×0＋×＋×(－1)＝， ∴cos〈，〉＝＝＝， 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. (2)∵F，H， ∴＝. ∴||＝ ＝. [反思感悟] 运用向量坐标运算解决几何问题的方法与步骤 1．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝________，EF＝________. 解析：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1， 则E，F. ∴＝，＝， ＝. ∴cos〈，〉＝＝＝. ∴cos∠EAF＝，EF＝||＝. 答案：　 2．已知空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3，2，－5)． 求：(1)向量，的模； (2)向量，夹角的余弦值． 解：(1)因为＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)， ＝(3,2，－5)－(1,2,3)＝(2,0，－8)， 所以||＝＝， ||＝＝2. (2)因为·＝(1，－3,2)·(2,0，－8) ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos〈，〉＝ ＝＝－. 因此，向量，夹角的余弦值为－. [课堂小结] 1．空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； λa＝(λa1，λa2，λa3)； a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 2．平行向量、垂直向量坐标之间的关系 a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)． a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 利用平行向量、垂直向量的关系式可以证明一些简单的立体几何中的平行与垂直关系． 3．本节课的易错点 (1)利用a⊥b⇔a·b＝0时，易忽视a≠0且b≠0； (2)利用向量解决异面直线所成角的问题时，易忽视角的取值范围，在解决已知向量的夹角为锐角或钝角求参数的范围问题时，一定要注意两向量共线的情况； (3)两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$