1.3.1 空间直角坐标系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 学习目标 素养要求 1．了解空间直角坐标系的建系方式． 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点． 3．能在空间直角坐标系中求出向量的坐标. 1．通过学习空间直角坐标系，提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．通过求空间直角坐标系中点和向量的坐标，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　空间直角坐标系 [问题1]　在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？ 答：3个． [问题2]　如图怎样确切地表示室内灯泡的位置？ 答：如图所示，从图中看出，N点可以用两个有序实数表示，P与N点的不同在于竖直方向上与N有段距离．所以要表示灯泡的位置需要三个不同方向上的实数． [问题3]　平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，试想一下，空间直角坐标系由几条数轴构成？其相对位置关系如何？ 答：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．　 ►知识填空 空间直角坐标系 在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}． 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：__x轴、y轴、z轴__，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O ­xyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为__Oxy__平面、__Oyz__平面、__Ozx__平面，它们把空间分成八个部分． [点睛] 画空间直角坐标系O ­xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. 知识点二　空间直角坐标系中点和向量的坐标表示 [问题1]　在平面直角坐标系内，每一个点和坐标都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，那么对于空间直角坐标系中的每一个点和向量，能否也用坐标表示呢？ 答：可以． [问题2]　怎样用坐标表示空间向量？ 答：利用空间向量基本定理，将空间向量用单位正交基底表示．　 ►知识填空 1．空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系O ­xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间中任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组__(x，y，z)__，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作__A(x，y，z)__，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．空间直角坐标系中向量的坐标表示 在空间直角坐标系O ­xyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使　a＝xi＋yj＋zk　. 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O ­xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，点P(a，b，c)关于x轴的对称点是P1(a，－b，c)．(　　) (2)在空间直角坐标系中，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)．(　　) (3)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　) (4)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使得0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列点在x轴上的是(　　) A．(1,2,3)　　　　　　　 B．(0,0,1) C．(5,0,0) D．(0,1,0) 解析：选C　x轴上的点纵坐标和竖坐标为0. 3．点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．5 解析：选D　点P(1，－2,5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2,0)，则点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5. 4．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为______________． 答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7) 题型一　求空间中点的坐标 [例 1]　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标． 解：如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1. 由|BM|＝2|MC1|知，|MM1|＝|CC1|＝. |M1C|＝|BC|＝. 因为M1M∥DD1，所以M1M与z轴平行． 所以点M1与点M的横坐标、纵坐标相同． 又点M的竖坐标为，所以M的坐标为. 由N1为DM1的中点知，N1的坐标为. 因为N1N与z轴平行，且|N1N|＝＝， 所以N的坐标为. [反思感悟] 求某点P的坐标的方法 先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号，与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到点P的坐标． 已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标． 解：因为|PO|＝＝＝12， 所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)， A，B， C，D. 题型二　空间中点的对称问题 [例 2]　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12. 所以P3(6，－3，－12)． [反思感悟] 在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标特点 (1)关于坐标原点对称的点为P1(－x，－y，－z)； (2)关于横轴x轴对称的点为P2(x，－y，－z)； (3)关于纵轴y轴对称的点为P3(－x，y，－z)； (4)关于竖轴z轴对称的点为P4(－x，－y，z)； (5)关于xOy坐标平面对称的点为P5(x，y，－z)； (6)关于yOz坐标平面对称的点为P6(－x，y，z)； (7)关于zOx坐标平面对称的点为P7(x，－y，z)． 其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 已知点P(2,3，－1)，求： (1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标． 解：(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同．而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数． 所以点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1)． 同理，点P关于yOz，zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)． (2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同．而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数，所以点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3，1)． 同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P(2,3，－1)关于坐标原点的对称点的坐标为(－2，－3,1)． 题型三　空间向量的坐标表示 [例 3]　如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 解：∵PA＝AB＝AD＝1， PA⊥平面ABCD， AB⊥AD， ∴，，是两两垂直的单位向量． 设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ­xyz. 法一：∵＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－＋＋(＋＋) ＝＋＝e2＋e3， ∴＝. 法二：如图，连接AC，BD交于点O，则O为AC，BD的中点，连接MO，ON. ∴＝＝，＝. ∴＝＋＝＋＝e2＋e3. ∴＝. [反思感悟] 用坐标表示空间向量的方法步骤 若正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 解：(1)由图知，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)． (2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)． 所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)． [课堂小结] 1．空间中确定点M坐标的三种方法 (1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标． (2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标． (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标． 2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示 在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$