1.2 空间向量基本定理（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

1．2　空间向量基本定理 学习目标 素养要求 1．类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理． 2．能熟练地用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题. 1．通过学习空间向量基本定理，提升数学抽象的核心素养． 2．通过用基底表示向量并做到灵活应用，提升数学运算和逻辑推理的核心素养. [自主梳理] 知识点一　空间向量基本定理 [问题1]　平面向量对基底有什么要求？ 答：　要求两个基向量不共线． [问题2]　平面内任意向量都能用基底表示吗？ 答：　是． [问题3]　空间中存在不共面的两个向量吗？三个向量呢？ 答：空间中任意两个向量共面，三个向量可能共面也可能不共面． ►知识填空 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c__不共面__，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 [问题1]　0能不能作为基向量？ 答：不能． [问题2]　平面向量的正交分解中，要求基向量满足什么条件？ 答：要求两个基向量互相垂直，而且长度都为1.　 ►知识填空 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做__单位正交基底__，常用{i，j，k}表示． 2．空间向量的正交分解 对于空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．(　　) (2)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　　) (3)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　　) 解析：(1)√.当三个向量不共面时，才可以表示空间中的任意一个向量． (2)√.由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以做基底． (3)×.空间的基底是由三个不共面的向量组成的． 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．在三棱柱ABC ­A1B1C1中，可以作为空间向量一组基底的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 解析：选C　C中不共面的三个向量可以作为基底． 3．已知O，A，B，C为空间中四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　) A．，，共线 B．，共线 C．，共线 D．O，A，B，C四点共面 解析：选D　由，，不能构成基底知，，三个向量共面，所以O，A，B，C四点共面． 4．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________. 解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3为不共面向量． 又∵λe1＋μe2＋ve3＝0， ∴λ＝μ＝v＝0.∴λ2＋μ2＋v2＝0. 答案：0 题型一　基底的判断 [例 1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以e1，e2，e3不共面．所以显然此方程组无解，即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立． 所以，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． [反思感悟] 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组．若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． (多选)已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b能构成空间基底向量的是(　　) A．　　　　　　 B． C． D．＋ 解析：选AB　因为＝(a－b)＝(＋＋)－(＋－)，即与a，b共面，所以与a，b不能构成空间基底．同理＋＝(a＋b)，也不能与a，b构成空间基底． 题型二　用基底表示向量 [例 2]　在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 解：(1)连接AF.＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)． (2)因为＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c， 所以x＝，y＝－，z＝－1. [反思感悟] 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间的所有向量，表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 　四棱锥P ­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，. 解：连接BO，则＝＝(＋) ＝(＋＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c，＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c， ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c， ＝＝＝a. 题型三　空间向量基本定理的综合应用 [例 3]　如图，已知在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c. 根据题意，得|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. 又这三个向量不共面，所以{a，b，c}构成空间的一个基底． ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D． (2)∵＝－a＋c， ∴||＝|a|，||＝|a|. ∵·＝(－a＋c)· ＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. ∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. [反思感悟] 用基底把向量表示出来后，可以解决长度、夹角之类的问题．这时候基底的选择要恰当，如果可以，尽量选择单位正交基底． 　如图所示，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c. (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， ∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝. [课堂小结] 1．基底及基向量 (1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底． (2)基底中的三个向量a，b，c都不是0. (3)一个基底由不共面的三个向量构成，一个基向量是指基底中的某一个向量． 2．空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示． 3．空间向量基本定理表明空间中的任意一个向量都可以用空间的一组基底来表示，求空间两点间的距离或线段的长度一般转化为求对应向量的模；求两直线的夹角则转化为求向量的夹角(或其补角)，体现了转化与化归的思想方法． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$