1.1.2 空间向量的数量积运算（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 学习目标 素养要求 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法． 3．能用向量的数量积解决夹角与距离问题. 1．通过学习空间向量的数量积运算，培养直观想象、数学抽象的核心素养． 2．借助空间向量数量积的应用，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　空间向量的夹角 [问题1]　平面内两个向量的夹角是怎样定义的？范围怎样规定？ 答：　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π. [问题2]　〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？ 答：　〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． ►知识填空 1．夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量的夹角，记作　〈a，b〉　. 2．夹角的范围：　[0，π]　. 3．两向量垂直：如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相__垂直__，记作　a⊥b　. 知识点二　空间向量的数量积 [问题1]　平面向量的数量积是如何定义的？ 答：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. [问题2]　能否类比平面向量的数量积，定义空间向量的数量积？ 答：　能，因为空间中任意两向量共面． ►知识填空 1．两个空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则　|a||b|cos〈a，b〉　叫做a，b的数量积，记作　a·b　，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0 运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝　λ(a·b)　 交换律 a·b＝　b·a　 分配律 a·(b＋c)＝　a·b＋a·c　 [点睛] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 2．空间向量数量积的性质 a⊥b⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. 知识点三　投影向量与向量所在直线与平面所成的角 1．投影向量 如图所示，在空间中，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 2．向量所在直线与平面所成的角 如图所示，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角也为α.(　　 ) (2)向量的投影一定是正数．(　　 ) (3)a·b＝a·c且a≠0⇒b＝c.(　　 ) 解析：(1)×.不一定．可能是α，也可能是π－α. (2)×.向量a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉，而cos〈a，b〉∈[－1,1]，所以投影可正可负也可以是零． (3)×.a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，所以可能只是a与(b－c)垂直． 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　 ) A．30°　　　　 B．60° C．150° D．120° 答案：D 3．(多选)下列各命题中，正确的命题为(　　 ) A．＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案：ABC 4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________. 解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝－. 所以〈a，b〉＝. 答案： 题型一　空间向量的数量积运算 [例 1]　(1)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝3，则|3a－2b|＝________. (2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求下列各式的值： ①·；②·；③·；④·. 解析：(1)因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°， 所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2×3×＝3. 又因为|3a－2b|2＝9a2－12a·b＋4b2 ＝36－12×3＋36＝36，所以|3a－2b|＝6. 答案：6 (2)①·＝· ＝||||cos〈，〉＝cos 60°＝. ②·＝·＝||2＝. ③·＝·＝－· ＝－×cos 60°＝－. ④·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. [反思感悟] 求数量积的两种情况和方法 (1)已知向量的模和夹角：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积运算． 1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选A　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. 2．已知在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： (1)·；(2)·. 解：如图所示，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋) ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 题型二　利用数量积解决垂直问题 [例 2]　如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面ACP. 解：取＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则有＝＋＝a＋b，＝＋＝＋＝(－)＋＝a－b＋c.∴·＝(a＋b)·＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c＝－＝0.∴⊥，即AC⊥OB1. ∵＝＋＝b＋c， ∴·＝·＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2＝－＋＝0. ∴⊥，即OB1⊥AP. 又∵AC∩AP＝A， ∴OB1⊥平面ACP. [反思感悟] 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定两侧直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0，从而判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积，从而判断两向量是否垂直． 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． 求证：PA⊥BD． 证明：由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD知，DA⊥BD． 则·＝0. 由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD． 则·＝0. 又＝＋， 所以·＝(＋)· ＝·＋·＝0，即PA⊥BD． 题型三　利用空间向量的数量积解决夹角和距离问题 [例 3]　如图所示，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段的长度； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 解：(1)设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. ∴线段AC1的长为. (2)设异面直线AC1与A1D所成角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝. ∵＝a＋b＋c，＝b－c， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，||＝＝＝ ＝. ∴cos θ＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. [反思感悟] 1．求线段长度或两点间距离的步骤 (1)结合图形将所求线段用向量表示； (2)用已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得出所求线段的长度或两点间的距离． 2．利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 [提醒]　求两向量的夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角的定义确定夹角是锐角、直角还是钝角． 在三棱柱OAB ­CA1B1中，＝a，＝b，＝c，三向量夹角均为，M，N分别在CA1，BA1上，且＝，＝，||＝2，||＝2，||＝4，如图所示． (1)将向量用a，c表示，并求||； (2)将向量用a，b，c表示； (3)求AM与ON所成角的余弦值． 解：(1)因为＝＋＋，＝a， 所以＝－a＋c. 又因为a·c＝4，所以||＝. (2)＝(＋)＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)． (3)因为a·b＝2，b·c＝c·a＝4， 所以·＝·(a＋b＋c)＝. 又||＝， 所以cos〈，〉＝＝， 即AM与ON所成角的余弦值为. [课堂小结] 1．空间向量的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，规定零向量与任一向量的数量积为0.a⊥b⇔a·b＝0(a，b是非零向量)． 关于两个向量的夹角应注意的问题： (1)0≤〈a，b〉≤π. (2)〈a，b〉＝〈b，a〉． (3)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． 2．数量积的简单应用 (1)证明两直线垂直． (2)求两点之间的距离或线段长度． (3)证明线面垂直． (4)求两直线所成的角或角的余弦值等． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$