1.1.1 空间向量及其线性运算（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

第一章　空间向量与立体几何 1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 学习目标 素养要求 1．理解空间向量的概念． 2．掌握空间向量的线性运算． 3．掌握空间向量共线和共面的充要条件及应用. 1．通过对空间向量有关概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养. [自主梳理] 知识点一　空间向量的有关概念 [问题1]　平面内既有大小又有方向的量是什么？ 答：向量． [问题2]　有哪些特殊的平面向量？ 答：零向量、单位向量、相等向量、相反向量等． [问题3]　能否类比平面向量，定义空间中的向量呢？ 答：能． ►知识填空 1．空间向量的有关概念 定义 在空间中，把具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量 长度(模) 向量的__大小__叫做向量的长度或__模__ 表示 方法 几何 表示 空间向量用__有向线段__ 字母 表示 用一个字母表示，如下图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作　A　，其模记为|a|或|| 2．特殊向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反 向量 与a长度__相等__而方向__相反__的向量称为a的相反向量 －a 相等 向量 方向__相同__且模__相等__的向量 a＝b或 ＝ 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量a，b的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量a，b叫做共线向量或__平行向量__ a∥b 知识点二　空间向量的线性运算 [问题1]　进行平面向量的加减法运算需要掌握哪两个法则？ 答：平行四边形法则和三角形法则． [问题2]　平面向量内使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？ 答：利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”，进行减法运算时，注意“共起点”．平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算． [问题3]　三角形法则和平行四边形法则适合空间向量的加减法运算吗？ 答：适合． ►知识填空 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝＋＝　　 减法 a－b＝O－＝　　 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa ＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　， λ(μa)＝　(λμ)a　； (3)分配律：λ(a＋b)＝　λa＋λb　， (λ＋μ)a＝　λa＋μa　 知识点三　空间向量共线和共面的充要条件 [问题1]　平面内两向量共线时，它们的方向有什么关系？ 答：方向相同或相反． [问题2]　平面内两向量共线的充要条件中，为什么要求b≠0? 答：由于我们已经规定了0与任意向量平行，所以当b＝0时，a与b是共线向量，可如果a≠0，就不可能存在实数λ，使a＝λb成立． ►知识填空 1．共面向量 平行于__同一个平面__的向量． 2．空间向量共线和共面的充要条件 共线(平面)向量 共面向量 对于空间中任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使　a＝λb　 如果两个向量a，b__不共线__，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝　xa＋yb　 3．直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量的长度与向量的长度相等．(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)零向量没有方向．(　　) (4)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.(　　) 答案：(1) √　(2)√　(3)×　(4)× 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有(　　) A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 3．化简－＋所得的结果是(　　) A． B． C．0 D． 答案：C 4．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________. 答案：3a－2b 题型一　空间向量的概念 [例 1]　(1)下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ (2)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中， ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为的所有向量． 解析：(1)选B　|a|＝|b|，说明a与b的模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B． (2)①由于AA1＝1，所以，，，，，，，这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1.故单位向量共有8个． ②由于这个长方体左、右两侧的对角线长均为，所以模为的向量为，，，，，，，. [反思感悟] 与空间向量的概念有关的问题的解题策略 (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件； (2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键； (3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约． 1．给出下列命题： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ③空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为(　　) A．0　　　　　 B．3 C．2 D．1 答案：D 2．如图所示，以长方体ABCD ­A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解：(1)与向量相等的向量有，，，共3个． (2)向量的相反向量为，，，，共4个． (3)因为||2＝22＋22＋12＝9， 所以||＝3. 题型二　空间向量的线性运算 [例 2]　如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点．若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________． (2)化简：( － )－( － )＝________. 解析：(1)＝＋＝＋λ＝＋＝＋(－＋－)＝(1－λ)＋＋， 所以1－λ＝，＝.解得λ＝. (2)法一(转化为加法运算) ( － )－( － ) ＝ － － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0. 法二(转化为减法运算) ( － )－( － ) ＝( － )＋( － ) ＝ ＋ ＝0. 答案：(1)　(2)0 [反思感悟] 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 巧用相 反向量 向量加法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可利用空间向量的自由平移获得运算结果 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 数形 结合 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量 明确 目标 在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 1．如图所示，在三棱锥O ­ABC中，点D是棱AC的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．a－b＋c D．－a＋b－c 答案：B 2．如图在六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量． 解：如图，在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝.同理＝，＝，＝. 所以原式＝－＋＋＋＝＋＋＋＋＝. 题型三　空间向量的共线问题 [例 3]　已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 解：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， 所以＝＋＋＝＋＋. 又因为＝＋＋＋＝－＋－－， 所以2＝＋＋－＋－－＝，即＝2. 所以与共线． [反思感悟] 判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使得a＝λb成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到a∥b，即a与b共线．反之，当两个空间向量共线时，即存在实数λ，使得a＝λb成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值． 已知向量a，b，且 ＝a＋2b， ＝－5a＋6b， ＝7a－2b，则A，B，C，D中一定共线的三点是________． 解析：因为＝＋＝2a＋4b＝2， 所以A，B，D三点共线． 答案：A，B，D 题型四　空间向量的共面问题 [例 4]　如图所示，对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，请问 与 ， 是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由． 解：与，共面，证明如下： 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，由向量加法法则，得＝＋＋，＝＋＋.① 又E，F分别是AB，CD的中点， 故有＝－，＝－.② 将②代入①中，再两式相加，得2＝＋. 所以＝ ＋ ，即与，共面． [反思感悟] (1)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． (2)若存在有序实数组(x，y，z)，使得对于空间内任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足 ＝ ＋ ＋ . (1)判断 ， ， 三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内． 解：(1)∵＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)＝＋， 即＝＋＝－－. ∴向量，，共面． (2)由(1)知，向量，，共面．而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内． [课堂小结] 1．空间向量的有关概念 (1)向量；(2)零向量；(3)单位向量；(4)相等向量；(5)共线向量． 关于空间向量有关概念的判断，应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 2．空间向量的线性运算 (1)应用三角形法则和平行四边形法则时应注意： ①对于向量的加法，运用平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连； ②对于向量的减法，要求两向量有共同的起点； ③首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (2)向量的数乘运算要注意： ①空间向量数乘运算的定义； ②空间向量的数乘运算满足分配律与结合律． 3．共线向量的应用 (1)证明两直线平行． (2)证明三点共线． 4．共面向量的应用 (1)常用以证明四点共面． (2)向量共面的充要条件既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此将已知共面条件转化为向量式，以方便向量运算． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$