专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共48题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共48题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：根与系数的关系 1 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用根与系数的关系直接求代数式的值 3 考点2：利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值 3 考点3：利用根与系数的关系求参数的值 4 考点4：利用根与系数的关系求参数的取值范围 5 考点5：不解方程由根与系数的关系判断根的正负 6 考点6：由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况 7 考点7：根与系数的关系与新定义运算的综合运用 7 考点8：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 考点1：利用根与系数的关系直接求代数式的值 【典例精讲】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个根是 ，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【变式训练1】（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式训练2】（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 考点2：利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·假期作业）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）（1）已知关于x的一元二次方程有实根． ①若两个根分别为、，且，求 m的值； ②将①中的m值代入方程，求方程的值． （2）按要求解方程． ①（配方法） ②（公式法） ③（提公因式法） 考点3：利用根与系数的关系求参数的值 【典例精讲】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 【变式训练2】（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 考点4：利用根与系数的关系求参数的取值范围 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两实数根，且满足，求的取值范围． 【变式训练1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·四川南充·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 考点5：不解方程由根与系数的关系判断根的正负 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)___________，___________； (2)； 【变式训练】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． 考点6：由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是2，则另一根是 ． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）关于x的方程有一根，那么这个方程的另一个根是 考点7：根与系数的关系与新定义运算的综合运用 【典例精讲】（22-23九年级上·四川雅安·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________． 【变式训练】（24-25九年级上·四川眉山·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 考点8：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【变式训练】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为， ，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 3．（2023·四川攀枝花·中考真题）的两根分别为、，则 ． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 5．（2023·四川雅安·中考真题）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ． 基础夯实 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 4．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 6．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于x得一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 8．（24-25九年级上·贵州黔西·期末）已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 9．（24-25九年级上·天津和平·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 10．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如果方程的两个根是，，则，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)若，，求方程的两根． (2)已知实数a、b满足，，求的值； 培优拔高 11．（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 14．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 15．（24-25八年级下·江苏南通·期末）设m，n分别为方程的两个实数根，则 ． 16．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 17．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若方程有一个根是，求另一个根． 18．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 19．（24-25九年级上·海南儋州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程（是整数）． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，判断是否为变量的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共48题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：根与系数的关系 1 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用根与系数的关系直接求代数式的值 3 考点2：利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值 4 考点3：利用根与系数的关系求参数的值 8 考点4：利用根与系数的关系求参数的取值范围 10 考点5：不解方程由根与系数的关系判断根的正负 12 考点6：由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况 13 考点7：根与系数的关系与新定义运算的综合运用 14 考点8：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 16 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 28 知识点梳理01：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 考点1：利用根与系数的关系直接求代数式的值 【典例精讲】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个根是 ，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，即可求出的值． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是 ， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式训练1】（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 【规范解答】解：，是方程的两个实数根， ，即，， ， 故答案为：． 【变式训练2】（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【规范解答】解：∵，是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 考点2：利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根，， (2)有两个相等的实数根，， (3)有两个不相等的实数根，， (4)有两个不相等的实数根，， 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积． 【规范解答】（1）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （2）解：， ，，， △ ， 方程有两个相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （3）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （4）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·假期作业）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键． （1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可； （2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可． 【规范解答】（1）解：， 整理得：， 则，； （2）解：， 整理得：， 则，． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）（1）已知关于x的一元二次方程有实根． ①若两个根分别为、，且，求 m的值； ②将①中的m值代入方程，求方程的值． （2）按要求解方程． ①（配方法） ②（公式法） ③（提公因式法） 【答案】（1）①；②；（2）①；②；③ 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程． （1）①先根据根的情况得到，求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得到，代入，即可求解；②根据题意得到原方程为，利用根与系数的关系得到，求解即可； （2）①利用配方法求解方程即可；②利用公式法求解方程即可；③利用因式分解法解方程即可． 【规范解答】解：（1）①关于的一元二次方程有实数根， ， 解得； 由题意，得， ， ， 整理，得， 解得（，故舍去）， ② 关于的一元二次方程变成了， 得， 又， 代入得， （2）① ； ② ； ③ 或 ． 考点3：利用根与系数的关系求参数的值 【典例精讲】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 【答案】，另一个根是 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，将代入方程得出关于的一元一次方程，解方程求得，设另一个根为，根据根与系数的关系，即可求出答案． 【规范解答】解：∵关于的方程．方程的一个根是， ∴ 解得： 设另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述，，另一个根是． 【变式训练2】（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【思路引导】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【规范解答】（1）解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根， 所以，且， 解得， 所以的取值范围是． （2）解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以． 又因为， 所以， 则， 所以， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以的值为8． 考点4：利用根与系数的关系求参数的取值范围 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两实数根，且满足，求的取值范围． 【答案】 【思路引导】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程根的判别式． 根据题意，构建不等式，根据根与系数的关系问题可求出的取值范围，即可解决问题． 【规范解答】解：由题意，得，． ，是方程的两实数根，，． ，， 解得．，的取值范围是． 【变式训练1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系； 先根据一元二次方程根的判别式的意义求出，再利用根与系数的关系得出，结合已知条件即可求出m的取值范围． 【规范解答】解：将方程整理为， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为， 故选：D． 【变式训练2】（24-25九年级上·四川南充·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据解答即可求解； （）由根和系数的关系可得，，进而由完全平方公式可得，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴． 考点5：不解方程由根与系数的关系判断根的正负 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)___________，___________； (2)； 【答案】(1)2，； (2)16． 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案； （2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可求解． 【规范解答】（1）解：∵方程的两根为，， ∴ ，， 故答案为：； （2）解：． 【变式训练】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【思路引导】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知、是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；②根据一元二次方程根与系数的关系用m表示出和，然后得到关于m的方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为、， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即，解得， 由①知， ∴． 考点6：由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是2，则另一根是 ． 【答案】1 【思路引导】此题考查了根与系数的关系．首先设另一个根为，由关于x的一元二次方程有一个根是2，根据根与系数的关系可得，继而求得答案． 【规范解答】解：设另一个根为， ∵x的一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 即另一个根为1． 故答案为1． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）关于x的方程有一根，那么这个方程的另一个根是 【答案】 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据得到，即可求解． 【规范解答】解：∵关于x的方程有一根，设另一个根为 ∴， 解得：， 故答案为：． 考点7：根与系数的关系与新定义运算的综合运用 【典例精讲】（22-23九年级上·四川雅安·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________． 【答案】(1)是 (2)26或5 (3) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了阅读理解能力． （1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义解得或，然后把或代入所求的代数式中运算即可； （3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值． 【规范解答】（1）解：， ， 或， 所以， 则方程是“倍根方程”； （2）解：， 或， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； （3）解：根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得 ， 解得 或（舍去）， ∴m的值为； 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·四川眉山·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 【答案】(1) (2)，；关系为：，，证明见解析 (3)， 【思路引导】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“密友方程”的根得出规律，即可求解； （3）根据题意可得的两根，进而得到，进而求解； 【规范解答】（1）解：一元二次方程， ，，， 其“密友方程”是； （2）解：该一元一次方程的“密友方程”是； 解得：，； 关系为：， 或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数． 证明：的两根为、， 设，则，整理的 ，即方程两根为、 原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数． 即，； 故答案为：，；， （3）解：已知关于的方程的两根是，， 的两根为， 方程即为，两根设为、 ， ，． 考点8：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【规范解答】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为， ，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题． （1）依据题意，关于x的一元二次方程为，计算判别式，进而可以判断得解； （2）依据题意，由可得，故，，则该一元二次方程的衍生点，再令，进而可以得解； （3）依据题意，结合图象，直线与x轴交于点A，可得，又M在直线上，可得在直线上，刚好和的边交于点（，又令，则，从而，结合，进而可以得解； （4）依据题意，由直线，过定点，从而两个根为再由根与系数的关系即可求解． 【规范解答】（1）证明：， ∵， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的衍生点为． 令，， ∴； （3）解：如图，直线与x轴交于点A， 当，则， ∴ ∴， 又M在直线上， ∴在直线上，刚好和的边交于点． 令，则， ∴， ∴． ∴； （4）解：由题意，∵直线， ∴过定点， ∴两个根为， ∴， ∴ ∴，即． 1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【思路引导】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【规范解答】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 2．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【规范解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 3．（2023·四川攀枝花·中考真题）的两根分别为、，则 ． 【答案】 【思路引导】依据题意，由根与系数的关系得，，，再由进而代入可以得解． 【规范解答】解：由题意，根据根与系数的关系可得， ，， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)0 【思路引导】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【规范解答】（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【考点剖析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2023·四川雅安·中考真题）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ． 【答案】 【思路引导】设方程的另一个根为m，根据两根之积等于，得到关于m的一元一次方程，解之即可求解． 【规范解答】设方程的另一个根为m， 根据题意得，， 解得：， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系． 基础夯实 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解． 利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案． 【规范解答】∵是方程的根， ， ， ， 又∵、是方程的两个实根， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【规范解答】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 4．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】0 【思路引导】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【规范解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2039 【思路引导】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解． 【规范解答】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：2039 6．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键．根据一元二次方程有两个同正的实数根，利用一元二次方程根的判别式以及根和系数的关系，得到，，，求出m的取值范围即可． 【规范解答】解：一元二次方程有两个的实数根， ， ， 两个实数根同正， ，， ， m的取值范围是是． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于x得一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·贵州黔西·期末）已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)19 【思路引导】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 【规范解答】（1）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． （2）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． 9．（24-25九年级上·天津和平·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 【答案】(1) (2)，另一个根为 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）把方程的一个根为代入求出m，然后利用根与系数的关系进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为． 10．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如果方程的两个根是，，则，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)若，，求方程的两根． (2)已知实数a、b满足，，求的值； 【答案】(1)， (2)或2 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据，，得出方程，再求解即可； （2）根据、满足，，得出，是的解，求出和的值，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：当，，则方程为， ， 或， ∴，； （2）解：、满足，， 、是的解， 当时，，， ； 当时，原式． 综上，的值为或2． 培优拔高 11．（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可． 【规范解答】解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 12．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【思路引导】根据一元二次方程根与系数的关系得．由①式求出m的值，再代入②式即可得解． 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【规范解答】解：由， 得， ∵与是一元二次方程的两根， ∴， 由①得， ∴，， 代入②得，， ∴． 故选：C． 13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【规范解答】解： 是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 14．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系； 首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，求出，用整体代入法计算即可． 【规范解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，， ，， ， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏南通·期末）设m，n分别为方程的两个实数根，则 ． 【答案】2035 【思路引导】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出，求出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案． 【规范解答】解：、分别为方程的两个实数根， ， ， 、分别为方程的两个实数根， ， ∴， 故答案为：2035． 16．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【规范解答】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 17．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若方程有一个根是，求另一个根． 【答案】(1) (2)另一个根为5 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于m的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系可得结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：设方程的两个根为，，其中 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为5 18．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；能熟练利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可求解； （2）由根与系数的关系得，，代入，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 19．（24-25九年级上·海南儋州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程（是整数）． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，判断是否为变量的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是；是变量的函数，函数解析式为 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式．熟练掌握一元二次方程根的判别式以及求根公式是解题的关键． （1）计算根的判别式并判断其正负来证明方程根的情况； （2）先利用求根公式求出方程的两个根，再根据已知条件确定，，进而得出关于的函数解析式． 【规范解答】（1）解： 是一元二次方程， ， ， 化简得：， 是整数， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：是 在方程中， ， 当取正号时，， 当取负号时，， 是整数， ，则， ， ，， ， 是变量的函数，函数解析式为：． 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【思路引导】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【规范解答】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$