专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：因式分解法 1 知识点梳理02：选择适当的方法解一元二次方程 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：因式分解法解一元二次方程 2 考点2：与因式分解法相关的定义新运算问题 5 考点3：用因式分解法解一元二次方程相关的解决问题 7 考点4：换元法解一元二次方程 12 考点5：换元法解一元二次方程的阅读材料问题 15 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 27 知识点梳理01：因式分解法 1. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab= 0，则a=0 或b=0. 3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 4. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 知识点梳理02：选择适当的方法解一元二次方程 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(x＋m)2=n(n ≥ 0)的方程 平方根的意义 开方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分 解法 一边是0，另一边是易分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 考点1：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）12；（2） 【思路引导】本题主要考查实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）分别根据立方根，分母有理化，负整数指数幂以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【规范解答】解：（1） ． （2）， ∴， ∴， ∴或， 解得： 【变式训练1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）（1）计算：． （2）解一元二次方程： 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程，熟练计算是解题的关键． （1）按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序计算即可； （2）利用因式分解法即可解答． 【规范解答】解：（1）原式， ， ； （2）， ， 解得． 【变式训练2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把原方程两边同时除以2，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ，即， ， 解得：，． 【变式训练3】（24-25九年级上·北京·期中）解关于x的方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（）利用因式分解法解方程即可； （）利用配方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）（）∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 考点2：与因式分解法相关的定义新运算问题 【典例精讲】（23-24九年级上·广东河源·期中）若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元二次方程． 根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解． 【规范解答】根据定义， ． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·全国·周测）我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可． 【规范解答】解：由题意得 (x−2)★(1−x)=(x−2)2-(x−2)(1−x)=28 整理，得2x2-7x-22=0 （x+2）（2x-11）=0 x1=-2，x2= 故选：D ． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了新运算和解一元二次方程的应用，解此题的关键是得出关于x的一元二次方程，题目比较好，难度适中．先阅读新运算，根据新运算得出，求出方程的解即可． 【规范解答】解：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 【变式训练3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 考点3：用因式分解法解一元二次方程相关的解决问题 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如果是一元二次方程的一个解，求另外一个解和值． 【答案】另外一个解为， 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入中，求出b的值，进而求解一元二次方程即可． 【规范解答】将代入中，得， 解得， 故一元二次方程为， 即， 则另外一个解为． 【变式训练1】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，的长分别为的两个根，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，过点作，交于点，连接，，当点运动到点时，点也同时停止运动，当两动点运动了秒时，记的面积为． (1)求直线的解析式； (2)求关于的函数关系式； (3)点在运动过程中，在轴右侧是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)Q的坐标为或或 【思路引导】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形的性质及应用，解题的关键是分类思想的应用． （1）解得或，故，用待定系数法可得直线解析式为； （2）根据题意，，，可得，，分三种情况，由三角形面积公式可得答案； （3）设，而，①当为对角线时，中点重合，且，，②当为对角线时，的中点重合，且，，③当为对角线时，的中点重合，且，，分别解方程组可得答案． 【规范解答】（1）解：解得或， ∵的长分别为的两个根， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：根据题意，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当，即时，N，P，M共线，， 当时，； 当时，； ∴； （3）解：设，而， ①当为对角线时，中点重合，且， ∴， 解得：（此时N不在边上，舍去）或， ∴Q的坐标为； ②当为对角线时，的中点重合，且， ∴， 解得：（Q与P重合，舍去）或， ∴Q的坐标为； ③当为对角线时，的中点重合，且， ∴， 解得， ∴Q的坐标为； 综上所述，Q的坐标为或或． 【变式训练2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题考查了解一元二次方程、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先利用因式分解法解方程可得，，再结合定义即可得解； （2）①先解方程得出，再代入直线，计算即可得解；②由①可得点在直线上，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴方程的“两根点”的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； ②由①可得， ∴点在直线上， 如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于， ， 在中，当时，，即；当时，，解得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式训练3】（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 【答案】(1)见解析 (2)另外一根为； 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为3，带入可求出的值；再利用的值可知原方程，解之即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：方程化简为：， 根据判别式： ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵这个方程的一个根为3， ∴；解得：，则 把带入方程得：； ∴；解得：或； ∴方程得另外一根为：. 考点4：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解方程． 【答案】， 【思路引导】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设，于是原方程化为，求解，再进一步求解即可． 【规范解答】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 【变式训练1】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【思路引导】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，设，则．再按照一元二次方程的解法求解即可； （2）把原方程化为：，设，则，再按照解一元二次方程的解法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 【变式训练2】（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 【答案】 【思路引导】将题干中的一元二次方程通过变量替换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【规范解答】解：把一元二次方程 整理得． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为. 【考点剖析】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【变式训练3】（24-25九年级上·北京·期中）解方程：； 【答案】， 【思路引导】此题考查了解一元二次方程．设，得到，求出或，则或，即可求出答案． 【规范解答】解：， 设， 则方程变形为， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得或， 则或， 则或， 解得：，． 考点5：换元法解一元二次方程的阅读材料问题 【典例精讲】（24-25九年级上·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【规范解答】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． (1)方程：的解为：_______ (2)解方程：；（写出解题过程） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程： （1）设，则原方程可以化为，再仿照题意解方程即可； （2）设，则原方程可以化为，再仿照题意解方程即可． 【规范解答】（1）解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为：； （2）解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，此时方程无解； 综上所述，原方程的解为． 【变式训练2】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3） 【思路引导】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先配方，得出，再根据题中方法，进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：设， 则原方程可化为， 解得：，． 当，即，解得：； 当，即，解得：． 所以原方程的解，． （2）解：是直角三角形， 理由如下：∵、、为的三边， 故，， ∴， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即， 即， 故是直角三角形． （3）解：， ∵， 故， 即； 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即． 【考点剖析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，配方法的应用，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【变式训练3】（20-21九年级上·云南昆明·期末）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设， 则原方程换元为． ， 或， 解得，， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，， (2) 【思路引导】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观，难度适中．同时也考查了无理方程的解法． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解，同时注意． 【规范解答】（1）解：设，则原方程可变形为， ， 或． 当时，，； 当时，，． ∴原方程的解为，，，． （2）解：设，则， 所以原方程可化为， ， 或（舍去）． 当时，． 两边平方，得． ． ． ，． 经检验，，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 1．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 【答案】（1）①；②；（2）， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）①利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； ②先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据所求的正整数解，代入计算即可． 【规范解答】解：（1）①∵， ∴， ∴或， 解得； ② 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集为； （2） ， 由（1）①可得，则原式， 由（1）②可得，则原式． 2．（2021·青海西宁·中考真题）解方程：． 【答案】， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟知一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键．利用因式分解法解方程即可． 【规范解答】解：由得 ∴或 ∴，． 3．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2． 【思路引导】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可； （2）找出适当的方法解一元二次方程即可． 【规范解答】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0， ∴a＜b，ab＜0； 故答案为：＜，＜； （2）①x2+2x−1=0； 移项得x2+2x=1， 配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2， 则x+1=±， ∴x1=-1+，x2=-1-； ②x2−3x=0； 因式分解得x(x-3)=0， 则x=0或x-3=0， 解得x1=0，x2=3； ③x2−4x=4； 配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8， 则x-2=±， ∴x1=2+，x2=2-； ④x2−4=0． 因式分解得(x+2) (x-2)=0， 则x+2=0或x-2=0， 解得x1=-2，x2=2． 【考点剖析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴． 4．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 . 【答案】12 【思路引导】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可． 【规范解答】∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5 当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形； 当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形； 故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12． 故答案为12． 【考点剖析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键． 5．（2015·贵州安顺·中考真题）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（     ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 【答案】B 【思路引导】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可求得周长． 【规范解答】解：解方程x2−12x＋35＝0 得x＝5或x＝7， 又3＋4＝7， 故长度为3，4，7的线段不能组成三角形， ∴x＝7不合题意， ∴三角形的周长为3＋4＋5＝12． 故选：B． 【考点剖析】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件． 基础夯实 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程的根为（    ） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解求解即可． 【规范解答】解：原方程可分解为， 解得或， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解． 【规范解答】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 3．（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【规范解答】解：， ， 或， ∴，， 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接根据十字相乘法求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：C． 5．一元二次方程的解是 ． 【答案】或/或 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题应对方程进行变形，提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【规范解答】解：原方程可变形为：，解得，， 故答案为：或． 6．（2024·广东清远·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，直接利用因式分解法求解即可，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【规范解答】解：， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解方程：，求得 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法. 先提取公因式，再用平方差公式因式分解1，最后求解即可. 【规范解答】， 解：， ， 或， 解得， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)无解 (2)， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用公式法解方程即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：，，， ∵， ∴原方程无实数根，即原方程无解； （2）解：原方程化为，即， ∴或 ∴，． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）解下列方程： (1)（须用公式法）； (2)（方法不限）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 10．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）计算： (1)解方程：． (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】此题考查解一元二次方程，分式的混合运算，熟记计算法则是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）先计算括号中的异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法． 【规范解答】（1）解： ∴； （2）解： ． 培优拔高 11．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 设，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合非负性确定解即可． 【规范解答】解：令， 则原方程变为． 提取公因式，得． 解得或． ， 舍去，唯一解为． 因此，的值为． 故选：D． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程的一个实数根，则三角形的周长是（   ） A．21 B．21或16 C．16 D．22 【答案】A 【思路引导】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，正确解方程，根据三角形三边关系取舍方程的解是解题的关键． 先解方程，得到可能的第三边长，再根据三角形三边关系筛选有效解，最后计算周长． 【规范解答】解：将原方程整理为标准二次方程得， 因式分解为： 解得，． 已知两边长为8和6，第三边需满足： ． 当时，不满足，舍去． 当时，满足条件，为有效解． 故第三边为7，周长为． 故选：A． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于的方程均为常数，的解是，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的来求解．此题主要考查了换元法解一元二次方程，注意由两个方程的特点进行简便计算是解题的关键． 【规范解答】解：已知方程 的解为 ，． 对于新方程 ，可令 ， 则方程变为 ，与原方程形式相同． 故方程的解为 或 ，即： 或 ． 解得： 或 故方程的解是，． 故选：B． 15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为 ，第n个方程的解为 ． 【答案】 / ， 【思路引导】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先观察给出的方程序列，总结规律写出第n个方程，再用因式分解法解一元二次方程即可． 【规范解答】由题意得，第n个方程为， ， ，或， ，， 故答案为：；，． 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知一个直角三角形的两条边长恰好是方程的两根，则它的第三条边长为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是要注意分两种情况进行讨论，避免漏解．先用因式分解法解方程，求出两根，，即直角三角形的两条边长分别是2、3，再分两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求出第三边长． 【规范解答】解方程， ， ， ， 解得：，， 直角三角形的两条边长恰好是方程的两根， 直角三角形的两条边长分别是2、3， 当2、3分别是直角三角形的两条直角边时，根据勾股定理斜边长为， 当2、3分别是直角三角形的一条直角边和一条斜边时，斜边一定是3，根据勾股定理，另一条直角边长为， 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·广东阳江·开学考试）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）利用公式法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵, 在这里， ∴， 解得，． （2）解：∵， ∴ ∴， 解得． 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）在中，，的长恰好是一元二次方程的一个实数根，求该三角形的面积． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元二次方程-因式分解法；三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理，熟练掌握解方程，勾股定理的逆定理是解题的关键．先用因式分解法求得得两个根，根据三角形的存在条件，确定取舍，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，后利用直角三角形的面积计算解答即可． 【规范解答】解：， 解得 当时，，构不成三角形，舍去； 当时，能构成三角形，此时， ∵， ， ， ． ∴该三角形的面积是． 19．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【思路引导】此题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开方法，配方法，公式法，因式分解法是解题的关键． （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ∴或， ∴． （2）， ∵， ∴， ∴ ∴，． 20．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【思路引导】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【规范解答】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：因式分解法 1 知识点梳理02：选择适当的方法解一元二次方程 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：因式分解法解一元二次方程 2 考点2：与因式分解法相关的定义新运算问题 3 考点3：用因式分解法解一元二次方程相关的解决问题 4 考点4：换元法解一元二次方程 5 考点5：换元法解一元二次方程的阅读材料问题 6 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：因式分解法 1. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab= 0，则a=0 或b=0. 3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 4. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 知识点梳理02：选择适当的方法解一元二次方程 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(x＋m)2=n(n ≥ 0)的方程 平方根的意义 开方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分 解法 一边是0，另一边是易分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 考点1：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）计算：； （2）解方程： 【变式训练1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）（1）计算：． （2）解一元二次方程： 【变式训练2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）解一元二次方程： (1) ； (2)． 【变式训练3】（24-25九年级上·北京·期中）解关于x的方程． (1) ； (2)． 考点2：与因式分解法相关的定义新运算问题 【典例精讲】（23-24九年级上·广东河源·期中）若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·全国·周测）我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则 ． 【变式训练3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 考点3：用因式分解法解一元二次方程相关的解决问题 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如果是一元二次方程的一个解，求另外一个解和值． 【变式训练1】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，的长分别为的两个根，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，过点作，交于点，连接，，当点运动到点时，点也同时停止运动，当两动点运动了秒时，记的面积为． (1)求直线的解析式； (2)求关于的函数关系式； (3)点在运动过程中，在轴右侧是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 【变式训练3】（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 考点4：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解方程． 【变式训练1】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1) ； (2)． 【变式训练2】（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 【变式训练3】（24-25九年级上·北京·期中）解方程：； 考点5：换元法解一元二次方程的阅读材料问题 【典例精讲】（24-25九年级上·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． ，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． (1)方程：的解为：_______ (2)解方程：；（写出解题过程） 【变式训练2】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【变式训练3】（20-21九年级上·云南昆明·期末）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设， 则原方程换元为． ， 或， 解得，， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 1．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 2．（2021·青海西宁·中考真题）解方程：． 3．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 4．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 . 5．（2015·贵州安顺·中考真题）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（     ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 基础夯实 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程的根为（    ） A． B．1 C．1或 D．0 2．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 3．（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的解是 ． 6．（2024·广东清远·模拟预测）方程的解为 ． 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解方程：，求得 ． 8．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）解下列方程： (1)（须用公式法）； (2)（方法不限）． 10．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）计算： (1)解方程：． (2)化简：． 培优拔高 11．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程的一个实数根，则三角形的周长是（   ） A．21 B．21或16 C．16 D．22 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于的方程均为常数，的解是，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为 ，第n个方程的解为 ． 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知一个直角三角形的两条边长恰好是方程的两根，则它的第三条边长为 ． 17．（24-25九年级上·广东阳江·开学考试）解方程： (1) ； (2)． 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）在中，，的长恰好是一元二次方程的一个实数根，求该三角形的面积． 19． （24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）解方程：； （2） 解方程：． 20．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$