3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系及其应用（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

第三章　圆锥曲线的方程 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第2课时　直线与抛物线的位置关系及其应用 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 目录 contents Part 01 课 前 预 习 Part 02 课 堂 互 动 Part 03 课时作业 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 前 预 习 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 两个不同 一个 没有 平行或重合 一个 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 堂 互 动 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课时作业（二十九） 点击进入 word 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 谢谢观看 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 学习目标 素养要求 1．进一步掌握抛物线的方程及其性质，会判断直线与抛物线的位置关系． 2．会利用抛物线方程及其性质解决一些简单的抛物线问题. 1．通过对直线与抛物线的位置关系的探究，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．通过对抛物线中的定点、定值问题的探究，提升直观想象、逻辑推理的核心素养. [自主梳理] 知识点　直线与抛物线的位置关系 [问题1]　直线与双曲线有几种位置关系？ 答：相交、相切和相离三种． [问题2]　如何判断直线与双曲线的位置关系？ 答：代数法与几何法． [问题3]　如果直线与抛物线只有一个交点，是不是直线与抛物线一定相切？ 答：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，若直线与抛物线相交，则交点只有一个，此时直线与抛物线不相切. 　 ►知识填空 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即一元二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____________的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有________公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的对称轴______________，此时直线与抛物线有________公共点． [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线与抛物线有两个交点，说明直线与抛物线相交．(　　) (2)直线与抛物线有一个交点，说明直线与抛物线相切．(　　) (3)直线与抛物线相交，则直线与抛物线有两个交点．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．直线y＝2与抛物线y2＝8x的公共点的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．无数 解析：选B　直线y＝2与抛物线y2＝8x的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点． 3．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8) 解析：选A　线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). 4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________． 解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,y2＝4x，))得x2－8x＋4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4. 故线段AB的中点坐标为(4,2)． 答案：(4,2) 题型一　直线与抛物线的位置关系 [例 1]　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有： (1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点． 解：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，)) 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，方程可变为－4x＋1＝0，即x＝eq \f(1,4)，此时y＝1. 所以直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))， 且此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，则 Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k. ①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离； 综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点； 当k＞1时，直线l与C没有公共点． [反思感悟] 直线与抛物线位置关系的问题，常转化为二次函数问题加以解决，但要注意对二次项系数是否为零进行讨论，避免漏掉直线与抛物线对称轴平行的特殊情况． 已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　 ) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析：选C　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线恒过点(1,0)． 又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部， ∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 题型二　与弦长、中点有关的问题 [例 2]　(1)(多选)已知直线l过定点B(－1,0)，与抛物线y2＝－4x相交所得的弦长为8，则直线l的方程为(　　) A．y＝0　　　　　　　 B．x＝－1 C．y＝x＋1 D．y＝－x－1 (2)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若AB恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． 解析：(1)选CD　①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1与抛物线交于(－1，－2)，(－1,2)，弦长为4，不合题意． ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为y＝k(x＋1)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝－4x，))消去y，得k2x2＋(2k2＋4)x＋k2＝0. ∴x1＋x2＝－eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1.∴弦长为eq \r(1＋k2)×eq \f(\r(2k2＋42－4k4),k2)＝8. 解得k2＝1，即k＝±1.所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1. (2)法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有yeq \o\al(2,1)＝8x1，yeq \o\al(2,2)＝8x2. ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． 又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)， 即4＝eq \f(y1－y2,x1－x2).∴k＝4. ∴弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1. 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－4＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0. 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标， 则由根与系数，得y1＋y2＝eq \f(8,k). 又y1＋y2＝2，∴k＝4. ∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0. [反思感悟] (1)与抛物线有关的弦长问题，可以利用弦长公式解决； (2)与抛物线有关的中点问题，可以利用传统方法，也可以利用点差法解决： 已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1，直线l与抛物线C交于M，N两点．若线段MN的中点为(1,1)，则直线l的方程为__________________． 解析：依题意，易得抛物线的方程为y2＝4x. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 因为线段MN的中点为(1,1)，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.则x1≠x2. 有方式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))两式相减，得yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2)＝4(x1－x2)． 所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2. 故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 题型三　抛物线性质的综合应用 [例 3]　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M. (1)求抛物线的标准方程； (2)求eq \f(|AB|,|MF|)的最小值． 解：(1)由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1知，其右焦点为(1,0)， 即抛物线的焦点为F(1,0)． 所以eq \f(p,2)＝1.解得p＝2. 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)①当动弦AB所在直线斜率不存在时，易得|AB|＝2p＝4，eq \f(|AB|,|MF|)＝2； ②当动弦AB所在直线斜率存在时，易知AB的斜率不为0，设AB所在直线的方程为y＝k(x－1)，且有AB坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0. 所以x1＋x2＝eq \f(2k2＋2,k2)，x1·x2＝1，且Δ＝16(k2＋1)＞0. 所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2＋4,k2)))2－4)＝eq \f(4k2＋1,k2). 又FM所在直线方程为y＝－eq \f(1,k)(x－1)， 联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)x－1，,x＝－1，)) 求得点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,k))). 所以|MF|＝eq \r(22＋\f(4,k2))＝2eq \r(\f(1＋k2,k2)). 所以eq \f(|AB|,|MF|)＝eq \f(\f(4k2＋1,k2),2\r(\f(1＋k2,k2)))＝2eq \r(1＋\f(1,k2))＞2. 综上所述，eq \f(|AB|,|MF|)的最小值为2. [反思感悟] 运用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便． (2)对于轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系． (3)在直线与抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化． (4)对于圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明其与参数无关，也常用特定值探路法找定点、定值． 已知点P是抛物线y2＝x上的一点，过点P作两条直线l1与l2，分别与抛物线相交于A，B两点． (1)已知点P(0,0)，且l1⊥l2，求证：直线AB恒过定点； (2)已知点P(1,1)，线段AB所在直线的方程为y＝x＋b，且△PAB的垂心H在x轴上，求实数b的值． 解：(1)证明：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在， 设l1：y＝kx，l2：y＝－eq \f(1,k)x. 因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝kx，))所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)，\f(1,k))).同理可得B(k2，－k)． 则直线AB所在直线的方程为y＝eq \f(k,1－k2)(x－1)，k≠±1，当k＝±1时，直线AB所在直线的方程为x＝1.综上，直线AB恒过定点(1,0)． (2)由PH⊥AB可知，垂心H的坐标为(2,0)． 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,y2＝x，))得x2＋(2b－1)x＋b2＝0.所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝1－2b，,x1x2＝b2，,Δ＝1－4b＞0.)) 因为HA⊥PB， 所以(x1－2)(x2－1)＋y1(y2－1)＝0， 即2x1x2＋(b－2)(x1＋x2)＋b2－b＋2＝0. 将x1＋x2＝1－2b，x1x2＝b2代入，得b2＋4b＝0. 又A，B两点均在抛物线上，抛物线方程为y2＝x， 直线AB的方程为y＝x＋b，则直线AB不过原点． 又b＜eq \f(1,4)，所以b＝－4. [课堂小结] 1．直线与抛物线位置关系的判定方法 (1)几何法；(2)代数法． [提醒]　直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决与弦有关的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等．常用的方法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求解，这样可避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．对于抛物线的综合问题要深刻分析其条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化． $$