3.2.1 双曲线及其标准方程（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

该高中数学课件聚焦“双曲线及其标准方程”核心知识点，通过课前预习明确“差的绝对值”“焦点”“F₁,F₂坐标”等定义要素，搭建学习支架，衔接圆锥曲线整体知识脉络，为课堂互动奠定概念基础。 其亮点在于采用“课前预习-课堂互动-课时作业”三段式设计，课前预习精准呈现焦点坐标符号表示，培养学生用数学语言表达几何关系的能力，课堂互动引导逻辑推理发展数学思维，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学方案，提升教学效率。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 目录 contents Part 01 课 前 预 习 Part 02 课 堂 互 动 Part 03 课时作业 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 前 预 习 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 差的绝对值 焦点 两焦点 F1，F2 |F1F2| 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 F1(－c,0)， F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 堂 互 动 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课时作业（二十四） 点击进入 word 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 谢谢观看 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 学习目标 素养要求 1．理解双曲线的定义、几何图形和双曲线标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程及其求法． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过求双曲线的标准方程以及对与双曲线有关的轨迹问题的探究，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　双曲线的定义 [问题1]　我们已经学习过椭圆，椭圆是如何定义的？ 答：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． [问题2]　如图所示，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点满足怎样的几何条件？ 答：曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． ►知识填空 双曲线的定义 自然语言 符号表示 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的______________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MF1|－|MF2|))＝2a(常数)，其中0＜2a＜|F1F2| 有关概念 两个定点叫双曲线的_______，________间的距离叫做双曲线的焦距 焦点：_________； 焦距：_________ 知识点二　双曲线的标准方程 [问题1]　根据双曲线的几何特征，如何建立坐标系求双曲线的方程？ 答：选择x轴(或y轴)经过两个定点F1，F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，然后按求轨迹方程的直接法步骤，求出双曲线的方程． [问题2]　若以两焦点F1，F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系，则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么？ 答：||MF1|－|MF2||＝2a(a为定长)． ►知识填空 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ______________(a＞0，b＞0) ______________(a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 _____________________ _______________________ a，b，c的关系式 a2＋b2＝c2 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)在双曲线的标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　　) (2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，则a＞b.(　　) 解析：(1)×.双曲线中b2＝c2－a2，椭圆中b2＝a2－c2. (2)×.在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，焦点在x轴上，且a＞0，b＞0，但是不一定a＞b. 答案：(1)×　(2)× 2．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线　　　　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：选C　因为||PM|－|PN||＝2＝|MN|， 所以点P的轨迹是两条射线． 3．(多选)双曲线2x2－y2＝8的焦点坐标是(　　) A．(0，－2eq \r(3)) B．(－2eq \r(3)，0) C．(2eq \r(3)，0) D．(0,2eq \r(3)) 解析：选BC　因为双曲线方程可化为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1， 所以c2＝4＋8＝12.解得c＝2eq \r(3). 所以焦点坐标为(－2eq \r(3)，0)，(2eq \r(3)，0)． 4．已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________． 解析：设双曲线的两个焦点为F1，F2. 因为|PF1|＝3，所以P在靠近F1的一支上． 所以|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋6＝9. 所以P到另一个焦点的距离为9. 答案：9 题型一　双曲线的定义及应用 [例 1]　若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：(1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知，||MF2|－16|＝6， 即|MF2|－16＝±6. 解得|MF2|＝10或|MF2|＝22. (2)由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°. ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|. ∴|PF1|·|PF2|＝64. ∴＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×64×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3). [反思感悟] (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求得结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应舍去，且所求距离应该不小于c－a)． (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用，其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． 1．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． 解析：不妨设点P在双曲线的右支上． 因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)))2＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4.可得2|PF1|·|PF2|＝4. 则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12. 所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3). 答案：2eq \r(3) 2．已知双曲线的方程是eq \f(x2,16)－eq \f(y2,8)＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)． 解：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，则ON是三角形PF1F2的中位线．所以|ON|＝eq \f(1,2)|PF2|. 因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10， 所以|PF2|＝2或18，即|ON|＝eq \f(1,2)|PF2|＝1或9. 题型二　求双曲线的标准方程 [例 2]　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，且经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))； (2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2)； (3)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))，且焦点在坐标轴上． 解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)． ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.② 由①②，得a2＝12，b2＝8. ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1. 法二：设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1. 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).)) ∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1. [反思感悟] 1．求双曲线的标准方程的步骤 定位 是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式 定量 是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解 2．双曲线标准方程的两种求法 定义法 根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程 待定系 数法 先设出双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可 [提醒]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 已知双曲线与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有相同焦点，且经过点(eq \r(15)，4)． (1)求椭圆的焦点坐标及离心率； (2)求此双曲线的标准方程． 解：(1)由题意，得a2＝36，b2＝27. 因为c2＝a2－b2＝9， 所以a＝6，c＝3，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2). 所以焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)． (2)设双曲线的方程为eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9－m)＝1. 因为点(eq \r(15)，4)在双曲线上，代入双曲线的方程， 得m＝4或m＝36(舍)． 所以双曲线的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1. 题型三　与双曲线有关的点的轨迹方程问题 [例 3]　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4eq \r(2)，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)． 由正弦定理，得sin A＝eq \f(|BC|,2R)，sin B＝eq \f(|AC|,2R)，sin C＝eq \f(|AB|,2R)(其中R为△ABC的外接圆半径)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝eq \f(|AB|,2)＝2eq \r(2)<|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 设所求轨迹方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x>a)． ∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6. 所以所求轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))． [反思感悟] 求与双曲线有关的点的轨迹方程的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程． (2)寻找几何关系，由双曲线的定义得出对应的方程． [提醒]　(1)分清双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：由题意知，圆F1：(x＋5)2＋y2＝1的圆心坐标为F1(－5,0)， 半径r1＝1； 圆F2：(x－5)2＋y2＝42的圆心坐标为F2(5,0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4. ∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|. ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝eq \f(3,2)，c＝5. 于是b2＝c2－a2＝eq \f(91,4).∴动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,\f(91,4))＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2))). [课堂小结] 1．对于双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线． 2．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2. 3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解． $$