3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，通过课前预习的问题链（如标准方程形式、范围、轴长异同）衔接椭圆定义与标准方程，搭建从方程到几何性质的学习支架，引导学生逐步探究范围、顶点、离心率等核心知识。 其亮点在于以问题驱动和多解法培养数学思维，如离心率探究结合几何图形与代数运算发展逻辑推理，对比表格梳理焦点位置差异提升直观想象。课堂小结系统归纳“化标准-定位置-求参数-写性质”步骤，助力学生构建结构化知识，教师可直接利用预习、互动、作业模块提升教学效率。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 目录 contents Part 01 课 前 预 习 Part 02 课 堂 互 动 Part 03 课时作业 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 前 预 习 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a A1(－a,0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b，0) 2b 2a 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 x轴、y轴 原点 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 堂 互 动 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课时作业（二十二） 点击进入 word 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 谢谢观看 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 学习目标 素养要求 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出椭圆的图形． 2．掌握椭圆的简单几何性质． 3．能根据椭圆的几何性质解决有关问题. 1．通过对椭圆几何性质的探究，主要培养直观想象、数学抽象的核心素养． 2．借助椭圆几何性质的应用，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点　椭圆的简单几何性质 [问题1]　已知椭圆方程，讨论椭圆的性质时， 椭圆的方程要满足什么形式？ 答：椭圆方程需要是标准方程，若不是标准形式要先化成标准形式． [问题2]　观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ 答：由eq \f(x2,a2)≤1，eq \f(y2,b2)≤1得－a≤x≤a，－b≤y≤b. [问题3]　对比焦点分别在x轴和y轴上的两椭圆的图形，长轴、短轴有何相同点与不同点？ 答：相同点：两图长轴长与短轴长分别相等；　 不同点：长轴与短轴所在位置不同． [问题4]　椭圆的中心与焦点、对称轴间有哪些关系？ 答：椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线． ►知识填空 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 范围 ________________________ ________________________ 顶点 _______________________, _______________________ _______________________, _______________________ 轴长 短轴长＝______，长轴长＝______ 焦点 (±eq \r(a2－b2)，0) (0，±eq \r(a2－b2)) 焦距 |F1F2|＝_____________ 对称性 对称轴：_____________　对称中心：________ 离心率 e＝____∈(0,1) 2eq \r(a2－b2) eq \f(c,a) 2．离心率的性质 [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(　　) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　　) (3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　) (4)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5,3,0.8　　　　　 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 答案：B 3．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是(　　) A．长轴长为eq \f(1,2) B．焦距为eq \f(\r(3),4) C．短轴长为eq \f(1,4) D．离心率为eq \f(\r(3),2) 解析：选ABC　椭圆C：16x2＋4y2＝1， 化为标准形式为eq \f(x2,\f(1,16))＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，可得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4). 则c＝eq \r(\f(1,4)－\f(1,16))＝eq \f(\r(3),4)，可得离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(\r(3),4),\f(1,2))＝eq \f(\r(3),2). 4．椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝(　　) A．1 B．eq \r(2) C．eq \r(3) D．2 解析：选C　∵a2＝m2＋1，b2＝m2， ∴c2＝a2－b2＝m2＋1－m2＝1，c＝1. ∵∠F1AF2＝eq \f(π,3)， ∴△F1AF2为等边三角形． ∴a＝2c，即 eq \r(m2＋1)＝2.解得m＝eq \r(3)(m＞0)． 题型一　根据椭圆的方程研究其几何性质 [例 1]　已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(－6,0)，(6,0)，离心率e＝eq \f(3,5). (2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1. 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称； ③顶点：长轴端点(0，－10)，(0,10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0，－6)，(0,6)； ⑤离心率：e＝eq \f(3,5). [反思感悟] 确定椭圆的几何性质的步骤 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解：把已知方程化为标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1. 于是a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7). ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)， 两个焦点坐标分别是(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 题型二　求椭圆的离心率 [例 2]　(1)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A．eq \f(\r(3),6)　　　　　　　 B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3) (2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．(0,1) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 解析：(1)法一：由题意可设|PF2|＝m， 结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq \r(3)m. 故离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(\r(3)m,2m＋m)＝eq \f(\r(3),3). 法二：由PF2⊥F1F2，可知P点的横坐标为c. 将x＝c代入椭圆方程，可解得y＝±eq \f(b2,a). 所以|PF2|＝eq \f(b2,a). 又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|. 故2c＝eq \r(3)·eq \f(b2,a)，变形可得eq \r(3)(a2－c2)＝2ac.等式两边同除以a2， 得eq \r(3)(1－e2)＝2e. 解得e＝eq \f(\r(3),3)或e＝－eq \r(3)(舍去)． (2)依题意得，c＜b，即c2＜b2. ∴c2＜a2－c2,2c2＜a2. 故离心率e＝eq \f(c,a)＜eq \f(\r(2),2). 又0＜e＜1，∴0＜e＜eq \f(\r(2),2). 答案：(1)D　(2)C [反思感悟] 求椭圆离心率的值或范围的两种方法 直接法 若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解． 方程法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立关于a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，将其转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 1．已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且(eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OF2,\s\up16(→)))·eq \o(F2P,\s\up16(→))＝0，|eq \o(PF1,\s\up16(→))|＝2|eq \o(PF2,\s\up16(→))|，则该椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(\r(5),4) C．eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(5),2) 解析：选C　如图，取PF2的中点A，连接OA， 所以2eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(OF2,\s\up16(→))＋eq \o(OP,\s\up16(→))，eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(F1P,\s\up16(→)). 因为(eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OF2,\s\up16(→)))·eq \o(F2P,\s\up16(→))＝0， 所以eq \o(PF1,\s\up16(→))⊥eq \o(PF2,\s\up16(→)).又|eq \o(PF1,\s\up16(→))|＝2|eq \o(PF2,\s\up16(→))|， 则可设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m. 因为|PF2|＋|PF1|＝2a＝m＋2m，所以m＝eq \f(2,3)a. 因为|F1F2|＝2c，所以4c2＝m2＋4m2＝5m2＝5×eq \f(4,9)a2.所以e＝eq \f(\r(5),3). 2．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2) 解析：选B　设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为eq \f(2,sin 60°)＝eq \f(4\r(3),3)，即长半轴长为eq \f(2\r(3),3)，所以半焦距为eq \f(\r(3),3)，故离心率为eq \f(1,2). 题型三　由椭圆的几何性质求椭圆的方程 [例 3]　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　) A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1 (2)求离心率e＝eq \f(2,3)，焦距2c＝16的椭圆的标准方程． 解析：(1)选B　设椭圆的短轴为2b(b＞0)， 长轴为2a，则2a＋2b＝18. 又因为一个焦点的坐标是(3,0)， 所以椭圆焦点在x轴上，c＝3. 因为c2＝a2－b2，a2－b2＝9，且a＋b＝9， 所以a2＝25，b2＝16. 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. (2)因为椭圆的离心率e＝eq \f(2,3)，焦距2c＝16， 所以c＝8，a＝12.所以b＝eq \r(80). 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,144)＋eq \f(y2,80)＝1或eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,144)＝1. [反思感悟] 利用椭圆的几何性质求椭圆标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点的位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 解：(1)若焦点在x轴上，则a＝3.∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，∴c＝eq \r(6). ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3. ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,a2))＝eq \f(\r(6),3)，解得a2＝27. ∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1. ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1. (2)设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 如图所示，可知△A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)， 又|OF|＝c，|A1A2|＝2b. ∴c＝b＝4.∴a2＝b2＋c2＝32. ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1. [课堂小结] 1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式． 2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距． 3．求椭圆的离心率要注意函数与方程思想、数形结合思想的应用． $$