3.1.1 椭圆及其标准方程（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

该高中数学课件聚焦“圆锥曲线的方程”，以椭圆及其标准方程为核心，通过课前预习、课堂互动、课时作业三段式结构，结合焦点坐标、a²=b²+c²公式等基础铺垫，搭建学习支架衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光抽象椭圆的常数、半焦距等概念，用数学思维推导标准方程逻辑，借数学语言呈现几何关系，辅以导航链接与课时作业入口，助力学生循序渐进掌握，教师教学环节清晰高效。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 目录 contents Part 01 课 前 预 习 Part 02 课 堂 互 动 Part 03 课时作业 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 前 预 习 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 常数 F1，F2 半焦距 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a2＝b2＋c2 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 堂 互 动 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课时作业（二十一） 点击进入 word 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 谢谢观看 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 学习目标 素养要求 1．掌握椭圆的定义并会用椭圆的定义解决问题． 2．掌握椭圆的标准方程及其推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 3．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. 1．通过对椭圆标准方程及椭圆焦点三角形等有关问题的探究，培养直观想象、数学抽象的核心素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　椭圆的定义 [问题1]　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？ 答：能．固定两个图钉，把细绳的两端分别固定在两个图钉上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，只要绳长大于图钉间的距离，画出的轨迹就是椭圆． [问题2]　在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 答：到两个定点的距离的和等于常数． [问题3]　将椭圆定义中的“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． ►知识填空 椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 2．焦点：两个定点____________. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|，焦距的一半称为_________. 知识点二　椭圆的标准方程 [问题1]　根据椭圆的几何特征，如何建立坐标系求椭圆的方程？ 答：以两定点F1，F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为坐标原点建立坐标系，然后按照直接法求轨迹方程的步骤求出椭圆方程． [问题2]　在推导椭圆的标准方程的过程中，如何处理等式中的两个根式？ 答：将其中一个根式移到另一端，两边平方然后再次平方即可． [问题3]　建系时，如果把焦点放在y轴上，是不是能得到另外一种形式的椭圆？ 答：是． ►知识填空 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 _________________ _________________ a，b，c的关系 _____________ [点睛] 椭圆的标准方程的特征 (1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上． (2)代数特征：方程右边为1，左边是关于eq \f(x,a)与eq \f(y,b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(x,b)与\f(y,a)))的平方和，并且分母为不相等的正值． [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　　) (3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　　) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　) 解析：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆． (2)×.2a＜|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在． (3)√.符合椭圆的定义． (4)×.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标为(　　) A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5) C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0) 答案：C 3．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的任意一点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．10　　　　　 B．8 C．5 D．4 答案：A 4．已知椭圆中a＝5，c＝eq \r(5)，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为________． 答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 题型一　求椭圆的标准方程 [例 1]　(1)点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹． (2)求中心在原点，焦点在y轴上，且经过两点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))的椭圆的标准方程． 解：(1)方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8. 根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8＞6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆． (2)设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1. [反思感悟] 1．求椭圆的标准方程的方法 方法 内容 适合题型或条件 定义法 通过分析条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定方程 动点满足|MA|＋|MB|＝2a，且2a＞|AB| 待定 系数法 由题设条件能确定方程类型，设出标准方程，再代入已知数据，求出相关参数 ①已知椭圆上的点的坐标； ②已知焦点坐标或焦点间的距离 2．椭圆标准方程的设法技巧 当椭圆的焦点位置不确定时，可设方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)，这种形式在解题中较为方便． 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3)). 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． ∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.)) 故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1. (2)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25).)) ∴椭圆方程为x2＋eq \f(y2,25)＝1. 题型二　椭圆的定义及其标准方程的应用 [例 2]　(1)已知椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,25)＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(　　 ) A．10　　　　　　 B．20 C．2eq \r(41) D．4eq \r(41) 解析：∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．又c＝4，∴a2－25＝42.∴a＝eq \r(41).由椭圆的定义，知△ABF2的周长＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝4eq \r(41). 答案：D (2)已知方程eq \f(x2,8－t)＋eq \f(y2,t－3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，求t的取值范围． 解：因为方程eq \f(x2,8－t)＋eq \f(y2,t－3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8－t>0，,t－3>0，,8－t>t－3.))解得3<t<eq \f(11,2). 所以t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(11,2))). [反思感悟] 1．椭圆定义的双向应用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件，即到两定点的距离之和为2a 2．根据椭圆方程求参数的取值范围 (1)给出方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1.其表示椭圆的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,n>0，,m≠n；))其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>n>0；其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0. (2)若给岀椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程形式eq \f(x2,\f(C,A))＋eq \f(y2,\f(C,B))＝1，再研究其焦点的位置等情况． 1．“0<t<1”是“曲线eq \f(x2,t)＋eq \f(y2,1－t)＝1表示椭圆”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　“曲线eq \f(x2,t)＋eq \f(y2,1－t)＝1表示椭圆”等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t>0，,1－t>0，,t≠1－t，))解得0<t<1且t≠eq \f(1,2)，所以“0<t<1”是“曲线eq \f(x2,t)＋eq \f(y2,1－t)＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B． 2．若椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________． 解析：设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝8，知|MF2|＝8－2＝6.又点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|＝eq \f(1,2)|MF2|＝3. 答案：3 题型三　 椭圆中的焦点三角形问题 [例 3]　如图所示，已知椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求： (1)△PF1F2的面积； (2)求点P的坐标． 解：(1)由已知，得a＝2，b＝eq \r(3). 所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.② 将②代入①，解得|PF1|＝eq \f(6,5). ∴＝eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5)， 即△PF1F2的面积是eq \f(3\r(3),5). (2)设P(x，y)．由(1)知＝eq \f(3\r(3),5). 又＝eq \f(1,2)|F1F2||y|＝eq \f(1,2)×2|y|，所以|y|＝eq \f(3\r(3),5). 代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得x＝±eq \f(8,5). 又因为点P在第二象限， 所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，\f(3\r(3),5))). [反思感悟] 1．椭圆定义的应用 (1)实现两个焦点半径之间的相互转化． (2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题． 2．运用椭圆定义解题的整体思想 对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求三角形的面积时应注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝eq \f(1,2)absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量． 已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________，△F1PF2的面积为________． 解析：由eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq \r(2).∴c＝eq \r(7). ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2. 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝2eq \r(7)， ∴cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq \f(1,2). ∴∠F1PF2＝120°.∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 120°＝2eq \r(3). 答案：120°　2eq \r(3) 题型四　与椭圆有关的轨迹问题 [例 4]　(1)已知△ABC的周长为20，且顶点坐标为B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B．eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,20)＝1(x≠0) C．eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,6)＝1(x≠0) D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0) (2)设定点A(6,2)，P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程． 解析：(1)因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，所以|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12.因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值．所以点A的轨迹是椭圆．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20.所以椭圆的方程是eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,20)＝1(x≠0)． (2)设M(x，y)，P(x1，y1)． 因为M为线段AP的中点， 所以x1＝2x－6，y1＝2y－2. 因为eq \f(x\o\al(2,1),25)＋eq \f(y\o\al(2,1),9)＝1， 所以点M的轨迹方程为eq \f(x－32,25)＋eq \f(y－12,9)＝eq \f(1,4). 答案：(1)B　(2)eq \f(x－32,25)＋eq \f(y－12,9)＝eq \f(1,4) [反思感悟] 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解． (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程． (3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程． 到直线x＋3y＝0和x－3y＝0的距离的平方和为18的动点P的轨迹方程为________． 解析：设动点P的坐标为(x，y)． 因为点P(x，y)到直线x＋3y＝0和x－3y＝0的距离的平方和为18， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|x＋3y|,\r(1＋32))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|x－3y|,\r(1＋－32))))2＝18. 所以2x2＋18y2＝180，即eq \f(x2,90)＋eq \f(y2,10)＝1. 答案：eq \f(x2,90)＋eq \f(y2,10)＝1 [课堂小结] 1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. 2．椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的． $$